二次遅れ要素の過渡応答

図 1.13: sample系

$$X(s) = \frac{k}{Ts^2+s+k}U(s)$$

$$= \frac{\omega _n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega _n^2}U(s)$$ (1.59)

　　　ただし、 $\omega _n=\sqrt{k/T}$　非減衰固有角周波数
　　　　　　　 $\zeta =\frac{1}{2\sqrt{kT}}$　減衰係数
$\zeta < 1$の場合、根　 $s=-\zeta\omega_n\pm j\omega _n\sqrt{1-\zeta ^2}$
$\zeta =1$の場合、根　$s=-\omega _n$
$\zeta >1$の場合、根　 $s=-\zeta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\zeta ^2-1}$
（a）インパルス応答

（i）$\zeta < 1$　の場合

$$X(s) = \frac{\omega _n^2} {s^2+2\zeta\omega _ns+(\zeta\omega _n)^2+\omega _n^2-(\zeta\omega _n)^2}$$

$$= \frac{(\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _n)} {(s+\zeta\omega _n)^2+(\sqrt{1-\zeta ^2}\cdot\omega _n)^2} \cdot\frac{\omega _n}{\sqrt{1-\zeta ^2}}$$ (1.60)

$$x(t) = {\cal L}^{-1}\left[ \frac{\omega _n}{\sqrt{1-\zeta ^2}}\cdot \fra... ...eta ^2}\omega _n)} {(s+\zeta\omega _n)^2+(\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _n)^2}\right]$$

$$= \frac{\omega _n}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta\omega _nt} \sin{(\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _nt)}$$ (1.61)

$\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _n$を固有角周波数という。

（ii）$\zeta =1$ の場合

$$X(s)=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\omega _ns+\omega _n^2} =\frac{\omega _n^2}{(s+\omega _n)^2}$$ (1.62)

$$x(t)={\cal L}^{-1}\left[ \frac{\omega _n^2}{(s+\omega _n)^2}\right] =\omega _n^2te^{-\omega _nt}$$ (1.63)

（iii）$\zeta >1$ の場合

$$X(s)=\frac{(\sqrt{\zeta ^2-1}\omega _n)} {(s+\zeta\omega _n)^2-(\sqrt{\zeta ^2-1}\omega _n)^2} \frac{\omega _n}{\sqrt{\zeta ^2-1}}$$ (1.64)

$$x(t)=\frac{\omega _n}{\sqrt{\zeta ^2-1}}e^{-\zeta\omega _nt} \sinh{(\sqrt{\zeta ^2-1})\omega _nt}$$ (1.65)

図 1.14: インパルス応答

（b）インディシャル応答

（i）$\zeta < 1$　の場合

$$X(s) = \frac{\omega _n^2}{s^2+2\zeta\omega _ns+\omega ^2}\frac{1}{s}$$

$$= \frac{1}{s}-\frac{s+\zeta\omega _n}{s^2+2\zeta\omega _ns+\omega _n^2} -\frac{\zeta\omega _n}{s^2+2\zeta\omega _ns+\omega _n^2}$$ (1.66)

$$x(t) = 1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta\omega _nt} (\sqrt{1-\zeta ^2}\cos{\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _nt}$$

$$+\zeta\sin{\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _nt})$$

$$= 1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta\omega _nt} \sin (\sqrt{1-\zeta ^2}\omega _nt$$

$$+\tan ^{-1}\frac{\sqrt{1-\zeta ^2}}{\zeta})$$ (1.67)

（ii）$\zeta =1$ の場合

$$x(t)=1-e^{-\omega _nt}(\omega _nt+1)$$ (1.68)

（iii）$\zeta >1$ の場合

$$x(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega _nt}}{\sqrt{\zeta ^2-1}} \sinh... ...^2-1}\omega _nt +\tan ^{-1}{\frac{\sqrt{\zeta ^2-1}}{\zeta}})$$ (1.69)

図 1.15: インディシャル応答

（c）単位ランプ応答

（i）$\zeta < 1$の場合

$$x(t)=t-\frac{2\zeta }{\omega _n} \left\{ 1-\frac{e^{-\zeta\... ... ^{-1}{\frac{2\zeta\sqrt{1-\zeta ^2}}{2\zeta ^2-1}}) \right\}$$ (1.70)

（ii）$\zeta =1$の場合

$$x(t)=t-\frac{2}{\omega _n}+te^{-\omega _nt}+\frac{2}{\omega _n}e^{-\omega _nt}$$ (1.71)

（iii）$\zeta >1$の場合

$$x(t)=t-\frac{2\zeta}{\omega _n}\left\{ 1-\frac{e^{-\zeta\om... ...tanh ^{-1}\frac{2\zeta\sqrt{\zeta ^2-1}}{2\zeta ^2-1})\right\}$$ (1.72)

図 1.16: 単位ランプ応答

（d）インディシャル応答の諸性質

（i）行き過ぎ量：$P$

$$P=e^{-\pi\zeta /\sqrt{1-\zeta ^2}}$$ (1.73)

（ii）振幅減衰比：$\lambda$

$$\lambda =e^{-2\pi\zeta /\sqrt{1-\zeta ^2}}$$ (1.74)

（iii）行き過ぎ時間：$t_p$

$$t_p=\frac{\pi }{\omega _n\sqrt{1-\zeta ^2}}$$ (1.75)

（iv）整定時間：$t_s$

$$t_s=\frac{1}{\zeta\omega _n}\ln\frac{1}{\Delta }$$ (1.76)

$\Delta =2$％	の場合	$t_s\simeq \frac{\displaystyle 4} {\displaystyle \zeta\omega _n}$
$\Delta =5$％	の場合	$t_s\simeq \frac{\displaystyle 3} {\displaystyle \zeta\omega _n}$

図 1.17: ステップ応答