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Hurwitzの安定判別法

特性方程式の根を求めずに安定の判別を行う方法である。すなわち 特性方程式が

\begin{displaymath}
1+G_0(s)=a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0
\end{displaymath} (1.99)

のとき
(i)総ての係数 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$が存在し、かつ正であり
(ii)Hurwitzの行列式 $H_i(i=2,3,\cdots ,n)$が総て正であれば 安定である。

\begin{displaymath}H_i=\left\vert \begin{array}{ccccc}
a_1 & a_3 & a_5 & \cdots...
...\\
0 & \cdot & \cdot & \cdots & a_i
\end{array} \right\vert \end{displaymath}

ただし $a_1,a_2,\cdots ,a_k$の添字$k$が負になったり、$n$を越えた場合には $a_k=0$とおく。
[例]特性方程式が次式の場合

\begin{displaymath}s^4+4s^3+18s^2+76s+221=0\end{displaymath}

係数は総て存在し、かつ正であるので次のHurwitzの行列式を確かめる。

\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}{cccc}
4 & 76 & 0 & 0 \\
1 & 18 & 22...
...\
0 & 4 & 76 & 0 \\
0 & 1 & 18 & 221
\end{array} \right\vert \end{displaymath}

各小行列は

  $4>0$
   $ \left\vert \begin{array}{cc}
4 & 76 \\
1 & 18
\end{array} \right\vert
=72-76=-4<0 $
   $ \left\vert \begin{array}{ccc}
4 & 76 & 0 \\
1 & 18 & 221 \\
0 & 4 & 76
\end{array} \right\vert
=-3840 $
   $ \left\vert \begin{array}{cccc}
4 & 76 & 0 & 0 \\
1 & 18 & 221 & 0 \\
0 & 4 &...
...0 \\
1 & 18 & 221 \\
0 & 4 & 76
\end{array} \right\vert
=221\times (-3840)<0 $
であり、負が含まれているので不安定である。(なお最後の行列式は 必ずその一つ前の行列式と同符号になるので計算を行わなくても 判別できる)



Yasunari SHIDAMA
平成15年4月9日