根軌跡(root locus)とは

「根軌跡とは与えられた制御系の一巡伝達関数について、そのゲイン定数を0から∞ まで変化した場合、特性根が複素平面上で描く軌跡である。」

特性方程式を

$$1+K \cdot G(s)=0$$ (1.101)

とし、

$$G(s)=A\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}$$ (1.102)

で表わされるとき、これをベクトル表示すると、例えば$(s-p_1)$は図1.37に示す ごとく $P_1e^{j\theta_1}$で表される。同様にして$(s-z_1)$は $Z_1e^{j\varphi_1}$ で表わされるので、次式のように書ける。

図 1.37: ベクトル表示の例

$$G(s) = A\frac{Z_1Z_2 \cdots Z_m}{P_1P_2 \cdots P_n}e^{j(\varphi_1+\varphi_2+ \cdots +\varphi_m-\theta_1-\theta_2- \cdots -\theta_n)}$$

$$= R\cdot e^{j\Theta}$$ (1.103)

$$\mbox{ただし、}R=AZ_1Z_2 \cdots Z_m/P_1P_2 \cdots P_n$$

$$\hspace{1.2cm}\Theta=\varphi_1+\varphi_2+ \cdots +\varphi_m-\theta_1-\theta_2- \cdots -\theta_n$$

これを用いると特性方程式は

$$1+K \cdot R \cdot e^{j \Theta}=0$$ (1.104)

となり、これを満足する条件は

$$KR=1$$ (1.105)

$$\Theta = (1+2k)\pi \hspace{2cm} k=0,\pm 1,\pm 2 \cdots$$ (1.106)

となるので、この点に根軌跡が存在する。

したがって、根軌跡の作成手順は
(i)ｓ面上に$K \cdot G(s)$の総ての極（$\times$ 印）、零点（$\circ$印）を記入する。
(ii)任意の点Ｄに対する各零点及び極からのベクトル角 $(\varphi_1 \cdots \varphi_m , \theta_1 \cdots \theta_n)$を求める。
(iii)$\Theta$が（1.106）式を満足するようにＤ点を求める。
(iv)多数のＤ点を求めて、その点を結び曲線とする。
(v)各点より、零点までの距離 $Z_1 \cdots Z_m$、極までの距離 $P_1 \cdots P_n$ を測定し、$R$を求める。
(vi)その点に$K=1/R$の値を記入する。
(vii)矢印を$K$の増加の方向につける。

図 1.38: 根軌跡の例

図1.38は　

$$KG(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}$$

の例である。極は、$0,-1,-2$の所にあり、$D$点に対する角 $\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3}$ の和は(1.106)式を満足している。