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微小偏位法

先に述べたように、伝達関数を求めるには、系の物理量、すなわち信号間の関係を 示す微分方程式をつくり、すべての初期値を零として微分方程式のラプラス変換を 行うのであるが、この場合系の微分方程式が線形常微分方程式である必要がある。 したがって変数の積、商、乗べき等が含まれている場合は、”重ねの理”が 成り立たず非線形的であって伝達関数は誘導できない。

しかしながら、実際の物理系は厳密にいえば、総て非線形特性をもっている。 ただその変化範囲が小さければ、部分的に線形として表わすことができる。 特に制御工学では平衡状態からの変化分だけを線形として取り扱うのが普通である。

すなわち非線形特性を

\begin{displaymath}
f(u_i)=f(u_1,u_2,u_3,\cdots ,u_r)
\end{displaymath} (1.111)

とする。これは入力が独立変数 $u_1,u_2,\cdots,u_r$$r$個あることを示している。

いまある定常状態の動作点を$a_i$とし、入力$u_i$がその近傍であったとき

\begin{displaymath}
u_i=a_i+\Delta u_i
\end{displaymath} (1.112)

として、出力を$Taylor$展開すると、
$\displaystyle x=f(u_i)$ $\textstyle =$ $\displaystyle f(a_i)+\left.\sum_{i=1}^{r}\frac{\partial f(u_i)}{\partial u_i}
\right\vert _{u_i=a_i}\cdot(u_i-a_i)$  
    $\displaystyle +\left.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{r}
\frac{\partial^{2}f(u_i)}{\partial u_{i}^{2}}\right\vert _{u_i=a_i}\cdot
(u_i-a_i)^2+\cdots$ (1.113)

となる。
$(u_i-a_i)=\Delta u_i$が小さいので上式は
\begin{displaymath}
x=f(u_i)\simeq f(a_i)+\left.\sum_{i=1}^{r}\frac{\partial f(u_i)}{\partial u_i}
\right\vert _{u_i=a_i}\cdot\Delta u_i
\end{displaymath} (1.114)

と近似され、 $f(u_i)-f(a_i)=\Delta x$とおくと
\begin{displaymath}
\Delta x=\left.\sum_{i=1}^{r}\frac{\partial f(u_i)}{\partial u_i}
\right\vert _{u_i=a_i}\cdot\Delta u_i
\end{displaymath} (1.115)

になる。
独立変数1個の場合
\begin{displaymath}
\Delta x=\left.\frac{\partial x}{\partial u}\right\vert _{u=a}\cdot\Delta u
\end{displaymath} (1.116)

独立変数2個の場合
\begin{displaymath}
\Delta x=\left.\frac{\partial x}{\partial u_1}\right\vert _
...
...egin{array}{c}
u_1=a_1\\
u_2=a_2
\end{array}}
\cdot\Delta u_2
\end{displaymath} (1.117)

というように線形近似できる。

実際には次のような線形近似の方法が用いられる。すなわち$x$が小さいとき、

\begin{eqnarray*}
&&\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots\simeq 1-x\\
&&(1+x)^m=1+mx...
...ots\simeq 1\\
&&(1+x_1)(1+x_2)=1+x_1+x_2+x_1x_2\simeq 1+x_1+x_2
\end{eqnarray*}

のように近似される。
図 1.47: 微小偏位法
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.50]{eps/1-9-1.eps} \end{center} \end{figure}


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Yasunari SHIDAMA
平成15年4月9日