ラプラス変換

時間 $t$ の関数 $f(t)$ があるとき、次の積分を $f(t)$ のラプラス変換とい い、記号 ${\cal L}[f(t)]$ で表す。

$$F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\equiv {\cal L}[f(t)]$$ (1.5)

【例】

$$f(t) = e^{-at}$$ (1.6)

$${\cal L}[e^{-at}] = \int_0^{\infty}e^{-at}\cdot e^{-st}dt=\int_0^{\infty}e^{-(a+s)t}dt$$

$$= \left[ -\frac{1}{s+a}e^{-(a+s)t} \right]_0^{\infty}=\frac{1}{s+a}$$ (1.7)

通常はラプラス変換表を利用する。表1.2.1は自動制御理論において、 よく用いられる関数のラプラス変換表である。 ラプラス変換に際しては、表1.2.1に示される主要公式を適用する。

表 1.1: 常用ラプラス変換表

No.	$f(t)$	$F(s)$	No.	$f(t)$	$F(s)$
1	$\delta(t)$	1	6	$te^{-\sigma t}$	$\frac{1}{(s+\sigma)^2}$
2	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	7	$\sin{\omega t}$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
3	$t$	$\frac{1}{s^2}$	8	$\cos{\omega t}$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
4	$\frac{1}{2}t^2$	$\frac{1}{s^3}$	9	$e^{-\sigma t}\sin{\omega t}$	$\frac{\omega}{(s+\sigma)^2+\omega^2}$
5	$e^{-\sigma t}$	$\frac{1}{s+\sigma}$	10	$e^{-\sigma t}\cos{\omega t}$	$\frac{s+\sigma}{(s+\sigma)^2+\omega^2}$

ただし、$\delta(t)$ は単位インパルス関数
$u(t)$ は $t<0$ で $0$、$t>0$ で $1$の単位ステップ関数

表 1.2: ラプラス変換の主要公式

1	線形性	${\cal L}[ af(t) ]=aF(s)$
		${\cal L}[ f_1(t)\pm f_2(t) ]=F_1(s)\pm F_2(s)$
2	微分	${\cal L}\left[ \frac{df(t)}{dt} \right] = sF(S)-f(+0)$
		${\cal L}\left[ \frac{d^2\!f(t)}{dt^2} \right] = s^2F(s)-sf(+0)-f^{(1)}(+0)$
3	積分	${\cal L}\left[ \int f(t)dt \right] = \frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}f^{(-1)}(+0)$
4	$t$ 領域における移動	${\cal L}[ f(t-L) ] = e^{-sL}F(s)$
5	$s$ 領域における移動	${\cal L}[ f(t)e^{-at} ] = F(s+a)$
6	最終値	${\displaystyle \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)}$
7	初期値	${\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) }$
8	たたみこみの定理	${\cal L}[f_1(t)\cdot f_2(t)] = \frac{1}{2\pi j}\int_{\gamma -j\omega}^{\gamma +j\omega}F_1(s-\sigma)\cdot F_2(s)d\sigma$
		${\cal L}\left[ \int_0^t f_1(t-\tau)\cdot f_2(\tau)d\tau \right] = F_1(s)\cdot F_2(s)$

ただし、$f(+0)$ は $f(t)$ の初期値
$f^{(1)}(+0)$ は $\frac{df(t)}{dt}$ の初期値
$f^{(-1)}(+0)$ は $\int f(t)dt$ の初期値

【例1】

$$RC\frac{dx(t)}{dt}+x(t) = Ru(t)$$ (1.8)

$x(t)$の初期値を$x(0)$としてラプラス変換をすると

$$RCsX(s)-RCx(0)+X(s) = RU(s)$$ (1.9)

$$(RCs+1)X(s) = RCx(0)+RU(s)$$ (1.10)

となる。

【例2】

上例において $U(s)=\frac{1}{s}$ の時

$$X(s) = \frac{RC}{RCs+1}x(0)+\frac{R}{RCs+1}\cdot\frac{1}{s}$$ (1.11)

となる。この場合、最終値および初期値はそれぞれ、

$$\lim_{s \to 0}sX(s) = \lim_{s \to 0}\left[ \frac{RCs}{RCs+1}x(0)+ \frac{R}{RCs+1} \right] = R$$ (1.12)

$$\lim_{s \to \infty}sX(s) = \lim_{s \to \infty}\left[ \frac{RCs}{RCs+1}x(0) +\frac{R}{RCs+1} \right] = x(0)$$ (1.13)

により求められる。

【例3】

図 1.5: 合成関数としての例

図1.5(a) に示す$f(t)$は、同図(b)に示す$f_1(t)$と$f_2(t)$の合 成として考えられる。

$$\begin{eqnarray*} f_1(t) &=& u(t)\\ f_2(t) &=& -u(t-T) \end{eqnarray*}$$

ゆえ

$$F(s) = {\cal L}[f(t)]$$

$$= F_1(s)-F_2(s)$$

$$= \frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-sT}$$ (1.14)

となる。 （注意：ラプラス変換をして $s$ の関数で表示した場合、$t<0$ の間は零で $t=0$ 以後現象が生じることを意味している）