高次方程式の根の求め方（ Lin の解法 ）

ラプラス逆変換に際し、部分分数に分けるために分母の $s$ の多項式の根を求 めることが必要となる。ここではその求め方の一つの方法を示す。

$$D(s) = s^n+bs^{n-1}+cs^{n-2}+\cdots +fs^3+gs^2+hs+k = 0$$ (1.36)

の根を求める場合、この多項式を

$$F_1(s) = s^2+\frac{h}{g}s+\frac{k}{g}$$ (1.37)

で割り算をする。その結果

$$D(s) = (s^2+\frac{h}{g}s+\frac{k}{g})(s^{n-2}+\cdots +f_1s+g_1)$$

$$余り　{(h_1-\frac{h}{g}g_1)s+(k-\frac{k}{g}g_1)}$$ (1.38)

となったとする。ただし

$$h_1 = (h-\frac{k}{g}f_1)$$ (1.39)

である。この余りが大きいときは次の式を用いて第2回目の割り算をする。

$$F_2(s) = s^2+\frac{h_1}{g_1}s+\frac{k}{g_1}$$ (1.40)

その結果、次のようになったとする。

$$D(s) = (s^2+\frac{h_1}{g_1}s+\frac{k}{g_1})(s^{n-2}+\cdots +f_2s+g_2)$$

$$余り　{(h_2-\frac{h_1}{g_1}g_2)s+(k-\frac{k}{g_1}g_2)}$$ (1.41)

ただし

$$h_2 = (h-\frac{k}{g_1}f_2)$$ (1.42)

である。さらに余りが大きいとき、次式を用いて第3回目の割り算をする。

$$F_3(s) = s^2+\frac{h_2}{g_2}s+\frac{k}{g_2}$$ (1.43)

以上の計算を繰り返し、余りがほとんどなくなった所の値をもって商とする。

【例】

$$D(s) = s^4+10.65s^3+89s^2+15.5s+27 = 0$$ (1.44)

$$F_1(s) = s^2+\frac{15.5}{89}s+\frac{27}{89} = s^2+0.174s+0.303$$

$$D(s) = (s^2+0.174s+0.303)(s^2+10.48s+86.9)$$

$$余り　(-2.8s+0.67)$$

$$h_1 = 15.5-3.2 = 12.3$$

余りが大きいので第2回目を行う。

$$F_2(s) = s^2+\frac{12.3}{86.9}s+\frac{27}{86.9} = s^2+0.142s+0.311$$

$$D(s) = (s^2+0.142s+0.311)(s^2+10.51s+87.2)$$

$$余り　(-0.15s-0.12)$$

$$h_2 = 15.5-3.27 = 12.23$$

未だ余りが大きいので第3回目を行う。

$$F_3(s) = s^2+\frac{12.23}{87.2}s+\frac{27}{87.2} = s^2+0.14s+0.31$$

$$D(s) = (s^2+0.14s+0.31)(s^2+10.51s+87.22)$$

$$余り　(0.03s-0.04)$$

余りが小さくなったので、上式を商とする。あとは2次式の根を求めればよい。