• (a) 行列
• (b) 転置（transpose）
• (c)正方行列（行と列の数が等しい場合）
• (d)対称行列（主対角に対し対称の場合）
• (e)単位行列
• (f)等号
• (g)加減算
• (h)スカラーの積および微積分
• (i)マトリックスの積
• (j)逆行列
• (k)逆行列および転置に関する公式

マトリックスの諸法則

(a) 行列

$$\mbox{\boldmath$A$}=[a_{ij}]= \left[\begin{array}{cccc} a_{1... ...egin{array}{l} \leftarrow 行(row)\\ \\ \\ \par\end{array}$$ (2.47)

$\stackrel{\uparrow　　　　}{列(column)}$

１列だけのとき

$$\mbox{\boldmath$x$}=\left[\begin{array}{c} x_1 x_2 \vdots x_n \end{array}\right]$$ (2.48)

(b) 転置（transpose）

$$\mbox{\boldmath$A$}^T = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_... ...ots & \vdots & & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]$$ (2.49)

$$\mbox{\boldmath$x$}^T = \left[\begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array}\right]$$ (2.50)

(c)正方行列（行と列の数が等しい場合）

$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$ (2.51)

(d)対称行列（主対角に対し対称の場合）

$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 7\\ 2 & 4 & 13\\ 7 & 13 & 0 \end{array}\right]$$ (2.52)

対称行列のときは

$$\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$A$}^T$$ (2.53)

対角行列（主対角線の両側がすべて０の対称行列）
$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -4 \end{array}\right]$$ (2.54)

交代行列（Skew-symmetric）

$$a_{ij}=-a_{ji}、即ち\mbox{\boldmath$A$}=-\mbox{\boldmath$A$}$$ (2.55)

の場合
$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -3\\ -1 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right]$$ (2.56)

対称行列を $\mbox{\boldmath$A$}_s$、交代行列を $\mbox{\boldmath$A$}_{sk}$とした場合、正方行列 $\mbox{\boldmath$A$}$に対して次の関係がある。

$$\left\{\begin{array}{l} \mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$... ...box{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$A$}^T}{2} \end{array}\right.$$ (2.57)

$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 5 & 9 ... ...]+ \left[\begin{array}{cc} 0 & -1\\ +1 & 0 \end{array}\right]$$ (2.58)

(e)単位行列

$$\mbox{\boldmath$I$}= \left[\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 &... ...dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right]$$ (2.59)

(f)等号

$\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$B$}$とは$a_{ij}=b_{ij}$のこと。

(g)加減算

$\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$A$}\pm\mbox{\boldmath$B$}$は $c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$
また

$$\left.\begin{array}{l} \mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$B... ...}+\mbox{\boldmath$B$})+\mbox{\boldmath$C$} \end{array}\right\}$$ (2.60)

(h)スカラーの積および微積分

$h$:スカラー、 $\mbox{\boldmath$A$}$:マトリックスとすると、
$\mbox{\boldmath$C$}=h\mbox{\boldmath$A$}$は $c_{ij}=ha_{ij}$
また $\frac{d\mbox{\boldmath$A$}(t)}{dt}$は $\frac{da_{ij}(t)}{dt}$
$\int \mbox{\boldmath$A$}(t)dt$は $\int a_{ij}(t)dt$
のことである。

(i)マトリックスの積

$\mbox{\boldmath$A$}$と $\mbox{\boldmath$B$}$の積は $\mbox{\boldmath$A$}$の列と $\mbox{\boldmath$B$}$の行の数が等しいときのみ可能
$\mbox{\boldmath$A$}=n\times r$の行列、 $\mbox{\boldmath$B$}=r\times m$の行列のとき
$\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$} \hspace{2cm} n\times m$の行列

$$c_{ij}={\displaystyle \sum_{h=1}^r}a_{ih}b_{hj}$$ (2.61)

$[$例$]$

$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -2 & 3\\ 3 & 2 \end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{c} (1\times 1)+(-2)\times (-2)+(3\times 3)\\ (... ...es (-2)+(1\times 3)\\ (-1\times 1)+3\times (-2)+(2\times 3) \end{array}\right.$$

$$\left.\begin{array}{c} (1\times 1)+(-2)\times 3+(3\times 2)\\ (2\ti... ...times 3)+(1\times 2)\\ (-1\times 1)+(3\times 3)+(2\times 2) \end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc} 14 & 1\\ -1 & 13\\ -1 & 12 \end{array}\right]$$ (2.62)

マトリックスの積に関する公式

$${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{1}\hfill \crcr\mathhexbox20D... ...box{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}\neq \mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$A$}$$ (2.63)

$${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{2}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}=0の時$$

$$\mbox{\boldmath$A$}=0,\mbox{\boldmath$B$}=0とは限らない。$$

$${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{3}\hfill \crcr\mathhexbox20D... ...box{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}=\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$C$}の時$$

$$\mbox{\boldmath$B$}=\mbox{\boldmath$C$}とは限らない。$$

$${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{4}\hfill \crcr\mathhexbox20D... ...\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$C$})$$ (2.64)

$${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{5}\hfill \crcr\mathhexbox20D... ...)=\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$C$}$$ (2.65)

(j)逆行列

$$\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^{-1}=\mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$I$}$$ (2.66)

の時 $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$を逆行列(inverse matrix)という。但し $\mbox{\boldmath$A$}$の行列式(determinant) が零でない（正則行列）場合のみ存在する。

$$det\mbox{\boldmath$A$}= \left\vert\begin{array}{cccccc} a_{1... ... a_{n2} &\cdot & \cdot & \cdot & a_{nn} \end{array}\right\vert$$ (2.67)

において、$a_{ik}$に対して$i$行$k$列を除いた行列式を小行列$M_{ik}$という。

$M_{ik}$に$(-1)^{i+k}$を掛けたものを$a_{ik}$の余因子(cofactor)といい
$A_{ik}=(-1)^{i+k}M_{ik}$で表す。
「逆行列 $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$は、 $\mbox{\boldmath$A$}$の成分$a_{ik}$をその余因子$A_{ik}$ で置き換えてから転置行列を作り（これをadjoint matrixという）、それに $1/det\mbox{\boldmath$A$}$を掛けたものである。」
$[$例$]$

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 1 & 2 & 8 \end{array}\right]$$ (2.68)

の場合

$$det\mbox{\boldmath$A$} = (8\times 8\times 8)+(4\times 4\times 1)+(2\times 2\times 2)$$

$$- (2\times 8\times 1)-(8\times 4\times 2)-(4\times 2\times 8)$$

$$= 392$$ (2.69)

になり、余因子は

$$\left.\begin{array}{l} a_{11}=(-1)^2\left\vert\begin{array}{... ...ace{1cm}\\ a_{13}=-4,a_{23}=-12,a_{33}=56 \end{array}\right\}$$ (2.70)

となるので

$$\mbox{\boldmath$A$}_{ik}=\left[\begin{array}{ccc} 56 & -12 & -4\\ -28 & 62 & -12\\ 0 & -28 & 56 \end{array}\right]$$ (2.71)

$$\mbox{\boldmath$A$}_{ik}^T=\left[\begin{array}{ccc} 56 & -28 & 0\\ -12 & 62 & -28\\ -4 & -12 & 56 \end{array}\right]$$ (2.72)

より逆行列は

$$\mbox{\boldmath$A$}^{-1}=\frac{\mbox{\boldmath$A$}_{ik}^T}{det\mbox{\boldmath$A$}} = \frac{1}{392} \left[\begin{array}{ccc} 56 & -28 & 0\\ -12 & 62 & -28\\ -4 & -12 & 56 \end{array}\right]$$

$$= \left[\begin{array}{ccc} 1/7 & -1/14 & 0\\ -3/98 & 31/196 & -1/14\\ -1/98 & -3/98 & 1/7 \end{array}\right]$$ (2.73)

(k)逆行列および転置に関する公式

$$(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})^{-1}=\mbox{\boldmath$B$}^{-1}\cdot\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$$ (2.74)

$$(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})^T=\mbox{\boldmath$B$}^T\cdot\mbox{\boldmath$A$}^T$$ (2.75)

$$(\mbox{\boldmath$A$}^T)^T=\mbox{\boldmath$A$}$$ (2.76)

$$(\mbox{\boldmath$A$}^T\cdot\mbox{\boldmath$B$})^T=\mbox{\boldmath$B$}^T\cdot\mbox{\boldmath$A$}$$ (2.77)

$$(\mbox{\boldmath$A$}_s)^T=\mbox{\boldmath$A$}_s$$ (2.78)

$$(\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$C$})^{-1}... ...th$A$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$})^{-1}\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$$ (2.79)

$$(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}-\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$D$})^{-1}-(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$})^{-1}$$

$$\hspace{0.5cm}=(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}-\mbox{\bo... ...{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$D$}(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$})^{-1}$$ (2.80)