状態変数の変換法

任意の状態変数 $\mbox{\boldmath$x$}$で表示されたシステムの状態方程式を

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\bol... ...$y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$} \end{array}\right.$$ (2.81)

とする。これを相変数の状態変数 $\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$に変換するための 変換行列を $\mbox{\boldmath$T$}$としたとき

$$\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.82)

で表わすことが出来る。ここに $\mbox{\boldmath$T$}$は$n\times n$の行列で正則と する。このとき

$$\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$T$}^{-1}\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (2.83)

ゆえ、（2.81）式に代入すると

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}}=\m... ...x{\boldmath$C$}}\tilde{\mbox{\boldmath$x$}} \end{array}\right.$$ (2.84)

となる。したがって $\mbox{\boldmath$T$}$が求められれば任意の状態変数のシステムは 相変数表示に変換することができる。

$\mbox{\boldmath$T$}$は次の手順で求めることができる。いま

$$\mbox{\boldmath$B$}=[\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$b$}_2,\cdots ,\mbox{\boldmath$b$}_r]$$ (2.85)

と分解し、次のマトリックスを作成する。但し、 $\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$b$}_2,\cdot, \mbox{\boldmath$b$}_r$は一列のマトリックスである。

$$\mbox{\boldmath$\Gamma$}=[\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$A... ...x{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$b$}_2,\mbox{\boldmath$A$}^2\mbox{\boldmath$b$}_2$$

$$\cdots ,\mbox{\boldmath$A$}^{n-1}\mbox{\boldmath$b$}_2,\cdots ,\m... ...2\mbox{\boldmath$b$}_r,\cdots , \mbox{\boldmath$A$}^{n-1}\mbox{\boldmath$b$}_r]$$ (2.86)

この複合マトリックスを次の順序に並びかえ
$\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$b$}_2,\cdots ,\mbox{\boldmath$b$}_r,\mbox... ...math$A$}\mbox{\boldmath$b$}_r,\mbox{\boldmath$A$}^2\mbox{\boldmath$b$}_1,\cdots$
左から独立なベクトルを$n$個とる。そして、そのベクトルだけを用いて再び （2.86）式の順序に並べて $\mbox{\boldmath$P$}$とする。すなわち

$$\mbox{\boldmath$P$}=[\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$A... ...dmath$b$}_r, \mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$b$}_r,\cdots ]$$ (2.87)

とする。この $\mbox{\boldmath$P$}$は正則であるから、逆行列をとって

$$\mbox{\boldmath$P$}^{-1}= \left[\begin{array}{c} e_{11} e... ... \vdots\\ \vdots \vdots \vdots d_r \end{array}\right]$$ (2.88)

とし、このうち下から$r$行をとって次の $\mbox{\boldmath$T$}$を作成すれば、それが 相変数への変換行列となる。

$$\mbox{\boldmath$T$}=\left[\begin{array}{c} d_1 d_1\mbox{\b... ... d_2\mbox{\boldmath$A$}^2\\ \vdots d_r \end{array}\right]$$ (2.89)

$[$例$]$
与えられた状態方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 3\\ ... ...boldmath$x$}+ \left[\begin{array}{c} 1 1 \end{array}\right]u$$ (2.90)

とする。このとき $\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 4 & 7 \end{array}\right]... ...ldmath$B$}=\mbox{\boldmath$b$}_1=\left[\begin{array}{c}1 1\end{array}\right]$ である。 $\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$b$}_1= \left[\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 4 &... ...ray}{c}1 1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}4 11\end{array}\right]$ ゆえ

$$\mbox{\boldmath$P$}=[\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$A... ...1]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 1 & 11 \end{array}\right]$$ (2.91)

となり $\mbox{\boldmath$P$}^{-1}=\frac{1}{7} \left[\begin{array}{cc} 11 & -4\\ -1 & 1 \end{array}\right]$ から

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath$d$}_1=\frac{1}{7} \left[\begin{array}{cc} -1 &... ...ay}\right]= \left[\begin{array}{cc} 3/7 & 4/7 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

が得られるので

$$\mbox{\boldmath$T$}= \left[\begin{array}{cc} -\frac{1}{7} & \frac{1}{7}\\ \frac{3}{7} & \frac{4}{7} \end{array}\right]$$ (2.92)

となる。

$$\mbox{\boldmath$T$}^{-1}=-7 \left[\begin{array}{cc} \frac{4}... ...t]= \left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 3 & 1 \end{array}\right]$$ (2.93)

であるから、相変数表示の

$$\tilde{\mbox{\boldmath$A$}} = \mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$T$}^{-1}= \... ...7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -4 & 1\\ 3 & 1 \end{array}\right]$$

$$= \left[\begin{array}{cc} -\frac{1}{7} & \frac{1}{7}\\ \frac{3}{7}... ...end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 5 & 8\\ \end{array}\right]$$ (2.94)

$$\tilde{\mbox{\boldmath$B$}} = \mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$B$}= \left[\begin{array}{cc} -... ...} 1 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 0 1 \end{array}\right]$$ (2.95)

が得られる。

$$\mbox{\boldmath$Y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$X$}= ... ...\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \mbox{\boldmath$X$}$$ (2.96)

のとき

$$\tilde{\mbox{\boldmath$C$}}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldma... ...ray}\right]= \left[\begin{array}{cc} -4 & 1 \end{array}\right]$$ (2.97)