• (a) 定義
• (b) 判別法
• (c) 階数の性質

可制御性、可観測性(Controllability,Observability)

(a) 定義

システムが

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\bol... ...$y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$} \end{array}\right.$$ (2.118)

で表示されたとき、ブロック線図は 図2.7 のように描かれる。

図 2.7: システムのブロック線図

$\mbox{\boldmath$y$},\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$}$はベクトルであるから、それぞれは各変数を含んでいる。 従ってその中には実際に制御できるもの、あるいは観測できるものとできないもの がある。ここに可制御性、可観測性の概念が生じる。

可制御性、可観測性の定義は次の如くである。

可制御性：

ある制御入力 $\mbox{\boldmath$u$}$によって有限時間$t_f\geq 0$に システムの初期状態 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$から、任意の最終状態 $\mbox{\boldmath$x$}(t_f)$に到達できる システムを可制御という。

可観測性：

出力 $\mbox{\boldmath$y$}(t)$を有限時間$0<t<t_f$の間、観測することにより、 時刻$0$におけるすべての状態 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$を求めることができるならば 可観測という。

図 2.8: システムの可制御、可観測の部分

図2.8 の場合、$S_{co}$の部分は可制御、可観測であり、$S_{cu}$の部分は可制御、 不可観測、$S_{uo}$の部分は不可制御、可観測$S_{uu}$の部分は不可制御、 不可観測である。システム全体としては不可制御、不可観測となる。

(b) 判別法

（2.118）式のシステムにおいて

1. 次の$n\times nr$の複合マトリックスが$n$の階数(rank)であるときは 可制御である。
   
   $$\Bigl[\mbox{\boldmath$B$}\vert\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldm... ...t\cdots\vert\mbox{\boldmath$A$}^{n-1}\mbox{\boldmath$B$}\Bigr]$$
   
   

2. 次の$n\times nm$の複合マトリックスが$n$の階数(rank)であるときは 可観測である。
   
   $$\Bigl[\mbox{\boldmath$C$}^T\vert\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\b... ...ts \vert\mbox{\boldmath$A$}^{T^{n-1}}\mbox{\boldmath$C$}\Bigr]$$
   
   

   またシステムが次の単入力、単出力の場合は
   

   
   

   $$\left\{\begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t)=\mbox{\... ...{\boldmath$c$}^T\cdot\mbox{\boldmath$x$}(t) \end{array}\right.$$ (2.119)

   
   

3. 次の$n\times n$の複合マトリックスが正則であれば可制御、可観測 である。
   
   
   $$\Bigl[\mbox{\boldmath$b$}\vert\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldm... ...t\cdots\vert\mbox{\boldmath$A$}^{n-1}\mbox{\boldmath$b$}\Bigr]$$
   
   

   
   

   $$\Bigl[\mbox{\boldmath$c$}\vert\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\bol... ...ts \vert\mbox{\boldmath$A$}^{T^{n-1}}\mbox{\boldmath$c$}\Bigr]$$
   
   

なおマトリックス $\mbox{\boldmath$M$}$の階数とは、 $\mbox{\boldmath$M$}$の中の行と列をいくつか 取り除いて作られる$r\times r$行列の行列式を$r$次の小行列式といい、$(r+1)$ 次の小行列式はすべて$0$であるが、$r$次の小行列式の中に$0$でないものがあるとき、 この$r$を指し $rank\mbox{\boldmath$M$}=r$と書く。例えば

$$\mbox{\boldmath$M$}= \left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 6 & 12 \end{array}\right]$$

のとき $rank \mbox{\boldmath$M$}=2$である。

(c) 階数の性質

1. 列の置換、および行の置換を行っても階数は変わらない。
2. １行または１列の全要素に同じ数を乗じても階数は変わらない。
3. １つの行（または列）にﾂ他の行（または列）の任意倍を加えても 階数は変わらない。
4. 全部の要素が$0$である行または列は除去しても階数は変わらない。
5. 他の行（または列）の線形結合である行（または列）は除去しても 階数は変わらない。

$[$例$]$

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 ... ...t]\mbox{\boldmath$x$}+ \left[\begin{array}{c} 1 1 0 \end{array}\right]u$$ (2.120)

$$y=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$x$}$$

の系の場合の可制御性、可観測性を判別する。

$$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0... ...h$c$}^T= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

であるから

$$\begin{eqnarray*} &&\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$b$}= \left[\begin{array}{... ...y}\right]= \left[\begin{array}{c} 1 4 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

ゆえに

$$\Bigl[\mbox{\boldmath$b$}\vert\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\bold... ...{ccc} 1 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$ (2.121)

この行列式は$0$となり、特異行列であるから不可制御である。

$$\begin{eqnarray*} &&\mbox{\boldmath$C$}= \left[\begin{array}{c} 1 0 2 \end... ...math$c$}= \left[\begin{array}{c} 1 0 18 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

ゆえに

$$\Bigl[\mbox{\boldmath$c$}\vert\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\bo... ...ccc} 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & -6 & 18 \end{array}\right]$$ (2.122)

これも特異行列ゆえ不可観測である。

図 2.9: システムのブロック線図

この例はブロック線図に描くと 図2.9 の如くなり、＃１ブロックは可制御 、可観測であるが、＃２ブロックが可制御、不可観測であり＃３不可制御、 可観測であるため全体として不可制御、不可観測となる。

もし$x_2$が＃３の入力と接続されている場合は、全体として可制御、可観測 となる。