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状態方程式の解

いまスカラーの微分方程式

\begin{displaymath}
\dot{x}(t) = ax(t) + bu(t)
\end{displaymath} (2.123)

但し、$a,b$は定数、$t = 0$のとき$x(0) = x_0$とする。
を解く場合、同次方程式の解は
\begin{displaymath}
x = \alpha e^{at}
\end{displaymath} (2.124)

になり、定数変化法を用いると特殊解は
\begin{displaymath}
x_s = \int_{0}^{t} e^{a(t - \tau)} \cdot b \cdot u(\tau) d \tau
\end{displaymath} (2.125)

となるので、解は
\begin{displaymath}
x(t) = x_0 e^{at} + \int_{0}^{t} e^{a(t - \tau)} \cdot b \cdot u(\tau) d \tau
\end{displaymath} (2.126)

になる。同様にしてベクトルの微分方程式
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t) = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$x$}(t) + \mbox{\boldmath$B$} \mbox{\boldmath$u$}(t)
\end{displaymath} (2.127)

の解は
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}(t) = e^{\mbox{\boldmath$A$} t} \mbox{\bo...
...- \tau)}
\mbox{\boldmath$B$} \mbox{\boldmath$u$}(\tau) d \tau
\end{displaymath} (2.128)

となる。自由系の場合は $\mbox{\boldmath$u$} = 0$ゆえ
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}(t) = e^{\mbox{\boldmath$A$} t} \mbox{\boldmath$x$}_0
\end{displaymath} (2.129)

になる。 この $e^{\mbox{\boldmath$A$} t}$を遷移行列(Transition Matrix)という。 自由系の場合は
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$x$}
\end{displaymath} (2.130)

ゆえ、ラプラス変換すると
    $\displaystyle s \mbox{\boldmath$x$}(s) - \mbox{\boldmath$x$}_0 = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$x$}(s)$ (2.131)
    $\displaystyle (s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$}) \mbox{\boldmath$x$}(s) = \mbox{\boldmath$x$}_0$ (2.132)
    $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}(s) = (s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$})^{-1} \cdot \mbox{\boldmath$x$}_0$ (2.133)

逆ラプラス変換すると
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}(t) = {\cal L}^{-1}[(s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$})^{-1} \mbox{\boldmath$x$}_0]
\end{displaymath} (2.134)

となる。したがって遷移行列は
\begin{displaymath}
e^{\mbox{\boldmath$A$} t} = {\cal L}^{-1}[(s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$})^{-1}]
\end{displaymath} (2.135)

より得られる。

[例1]自由系の場合

図 2.10: 自由系の場合
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.80]{eps/2-5-1.eps} \end{center} \end{figure}

2.10のシステムは

    $\displaystyle \dot{x}_1=-x_1+x_2$  
    $\displaystyle \dot{x}_2=-2x_2+u$ (2.136)

と書け、自由系では$u=0$であり、初期値を $\mbox{\boldmath$x$}_0$とする。 $ \mbox{\boldmath$A$} = \left[\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & -2
\end{array} \right] $ より
    $\displaystyle (s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$}) = \left[\begin{arra...
...eft[\begin{array}{cc}
s + 1 & -1 \\
0 & s + 2
\end{array} \right] \hspace{1cm}$ (2.137)
    $\displaystyle det(s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$}) = (s + 1)(s + 2)$  
    $\displaystyle adj(s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$}) = \left[\begin{array}{cc}
s + 2 & 1 \\
0 & s + 1
\end{array} \right]$  
    $\displaystyle (s \mbox{\boldmath$I$} - \mbox{\boldmath$A$})^{-1} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}\left[\begin{array}{cc}
s + 2 & 1 \\
0 & s + 1
\end{array} \right]$  
    $\displaystyle \hspace*{1.5cm} = \left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{s + 1} & \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} \\
0 & \frac{1}{s + 2}
\end{array} \right]$ (2.138)
    $\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}(t) = {\cal L}^{-1} \left[\begin{array}{cc}
\f...
... + 1)(s + 2)} \\
0 & \frac{1}{s + 2}
\end{array} \right] \mbox{\boldmath$x$}_0$  
    $\displaystyle \hspace*{1.5cm} = \left[\begin{array}{cc}
e^{-t} & e^{-t} - e^{-2t} \\
0 & e^{-2t}
\end{array} \right] \mbox{\boldmath$x$}_0$ (2.139)

が、自由系の解である。
[例2]強制系の場合
前例で $u(t) = 1,x_{10} = -1,x_{20} = 0$とした場合
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \left[\begin{array}{cc}
-1 & 1 ...
...rray}{c}
0 \\
1
\end{array} \right] \mbox{\boldmath$u$}(t)
\end{displaymath} (2.140)


$\displaystyle e^{\mbox{\boldmath$A$}t} = \left[\begin{array}{cc}
e^{-t} & e^{-t} - e^{-2t} \\
0 & e^{-2t}
\end{array} \right]$      

ゆえ
$\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}
e^{-t} & e^{-t} - e^{-2t} \\
0 & e^{-2t}
\end{array} \right]
\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \right]$  
    $\displaystyle + \int_{0}^{t} \left[\begin{array}{cc}
e^{-(t - \tau)} &
e^{-(t -...
...}
\end{array} \right]
\left[\begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right] d \tau$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\begin{array}{c}
-e^{-t} \\
0
\end{array} \right]
+ \int_{...
...-(t - \tau)} - e^{-2(t - \tau)} \\
e^{-2(t - \tau)}
\end{array} \right] d \tau$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\begin{array}{c}
-e^{-t} \\
0
\end{array} \right]
+ \left....
...frac{e^{-2(t - \tau)}}{2}
\end{array} \right] \right\vert^{\tau = t}_{\tau = 0}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\begin{array}{c}
-e^{-t} \\
0
\end{array} \right]
+ \left[...
...-t} + \frac{e^{-2t}}{2} \\
\frac{1}{2} - \frac{e^{-2t}}{2}
\end{array} \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\begin{array}{c}
\frac{1}{2} - 2e^{-t} + \frac{e^{-2t}}{2} \\
\frac{1}{2} - \frac{e^{-2t}}{2}
\end{array} \right]$ (2.141)

ゆえに強制系の解、すなわち過渡応答は
\begin{displaymath}
\left \{\begin{array}{l}
x_1 = \frac{1}{2} - 2e^{-t} + \fra...
...\
x_2 = \frac{1}{2} - \frac{e^{-2t}}{2}
\end{array} \right.
\end{displaymath} (2.142)

である。
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Yasunari SHIDAMA
平成15年5月12日