線形固定系の安定判別

いま二次系の場合のリアプノフ関数を

$$V(x_1,x_2) = a x_{1}^{2} + 2b x_1 x_2 + c x_{2}^{2}$$

$$= a(x_1 + \frac{b}{a} x_2)^2 + (c - \frac{b^2}{a})x^{2}_{2}$$ (2.152)

とする。これが正定であるための条件は

$$\left \{ \begin{array}{ll} a > 0 \\ (c - \frac{b^2}{a}) > 0 \end{array} \right.$$ (2.153)

である。いま上式を行列で表示すると

$$V = \left [ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right... ... \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right ]$$ (2.154)

となり、正定の条件は次の如くなる。

$$a > 0\quad ,\quad \left \vert \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right \vert > 0$$ (2.155)

一般的にリアプノフ関数を

$$V = \mbox{\boldmath$x$}^T \cdot \mbox{\boldmath$P$} \cdot \mbox{\boldmath$x$}$$ (2.156)

但し

$$\mbox{\boldmath$P$} = \left [ \begin{array}{cccc} p_{11} & ... ... \\ p_{1n} & p_{2n} & \cdots & p_{nn} \end{array} \right ]$$ (2.157)

で表す。
正定の条件(Sylvester の条件)は次式で与えられる。

$$p_{11} > 0 \quad ,\quad \left \vert \begin{array}{cc} p_{11... ...ot \\ p_{1n} & \cdots & p_{nn} \end{array} \right \vert > 0$$ (2.158)

自由系の場合

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t) = \mbox{\boldmath$A$} \cdot \mbox{\boldmath$x$}(t)$$ (2.159)

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}^T (t) = \mbox{\boldmath$x$}^T(t) \cdot \mbox{\boldmath$A$}^T$$ (2.160)

$$\dot{V} = \dot{\mbox{\boldmath$x$}}^T (\mbox{\boldmath$P$} \cdot \mbox{\bol... ...mbox{\boldmath$x$}^T \cdot \mbox{\boldmath$P$}) \cdot \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T (\mbox{\boldmath$A$}^T \cdot \mbox{\boldmath$P$} + \mbox{\boldmath$P$} \cdot \mbox{\boldmath$A$}) \mbox{\boldmath$x$}$$ (2.161)

になるので、安定のための条件は

$$\mbox{\boldmath$A$}^T \cdot \mbox{\boldmath$P$} + \mbox{\boldmath$P$} \cdot \mbox{\boldmath$A$} < 0$$ (2.162)

となる。

通常安定判別を行うときは

$$\mbox{\boldmath$A$}^T \mbox{\boldmath$P$} + \mbox{\boldmath$P$} \mbox{\boldmath$A$} = -\mbox{\boldmath$Q$}$$ (2.163)

とし、 $\mbox{\boldmath$Q$}$ に適当な正の対角行列をとり、上式より $\mbox{\boldmath$P$}$ を求めて、それが 正定の条件を満足しておれば安定であると判定をする。
［例］図2.14 の系の場合

図 2.14: sample系

状態方程式は

$$\left \{ \begin{array}{ll} \dot{x}_1 = -0.5 x_1 + 0.1 x_2 \\ \dot{x}_2 = -0.3 x_1 - 0.2 x_2 \end{array} \right.$$ (2.164)

であり、

$$\left. \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$A$} = \left [ \begi... ...3 \\ 0.1 & -0.2 \end{array} \right ] \end{array} \right \}$$ (2.165)

となる。 $\mbox{\boldmath$P$} = \left [ \begin{array}{cc} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} &... ...ldmath$Q$} = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ]$ とすると、

$$\left [ \begin{array}{cc} -0.5 & -0.3 \\ 0.1 & -0.2 \end{array} \ri... ...ft [ \begin{array}{cc} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{array} \right ]$$

$$+ \left [ \begin{array}{cc} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end... ...ght ] \left [ \begin{array}{cc} -0.5 & 0.1 \\ -0.3 & -0.2 \end{array} \right ]$$

$$= \left [ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right ]$$ (2.166)

より

$$\left \{ \begin{array}{l} -1 p_{11} - 0.6 p_{12} = -1 \\ ... ...22} = 0 \\ 0.2 p_{12} - 0.4 p_{22} = -1 \end{array} \right.$$ (2.167)

になり $p_{11} = 1.43 , \quad p_{12} = -0.72 , \quad p_{22} = 2.14$ が得られる。正定の条件より $\begin{array}{l} p_{11} =1.43 > 0 \\ \left \vert \begin{array}{cc} p_{11} ... ...1.43 & -0.72 \\ -0.72 & 2.14 \end{array} \right \vert = 2.54 > 0 \end{array}$ となるので、このシステムは安定である。

$\mbox{\boldmath$Q$}$ の選定は必ずしも単位行列とは限らず、計算が容易になるような適当な 対角行列にとる。 $\mbox{\boldmath$Q$} = 0$ のときは持続振動となる。