一般的な最適制御

前項の方法を、より一般的にした場合であって、最終条件を指定せず評価の対象として 評価関数の中に含めるような形(Bolza形)にした場合である。

すなわち、$S[x(t_f),t_f]$を最終条件の関数とし、評価関数を

$$J = \int^{t_f}_{t_i} L(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},t) d t + S[\mbox{\boldmath$x$}(t_f),t_f]$$ (2.230)

とする。初期値 $\mbox{\boldmath$x$}(t_i),t_i$ は指定されているので、上式第2項を 積分の中にいれ、それに全微分を適用すると、

$$J = \int^{t_f}_{t_i} \left[ L(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},t) + \frac{d S(\mbox{\boldmath$x$},t)}{d t} \right] d t$$

$$= \int^{t_f}_{t_i} \left[ L(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$}... ...h$x$}} + \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)}{\partial t} \right] d t\qquad$$ (2.231)

になる。この場合は、前項の(2.176)式の代りに、補助関数は

$$V = \int^{t_f}_{t_i} \left[ L(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$}... ...)} {\partial \mbox{\boldmath$x$}} \right \}^T \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \right.$$

$$\left. + \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)}{\partial t} + \... ...math$u$},t) - \mbox{\boldmath$\lambda$}^T \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \right] d t$$

$$\equiv \int^{t_f}_{t_i} L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t)d t$$ (2.232)

となる。

図 2.18:

図2.18に示す如く、 $\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t_1$ という軌道を通った場合と、 $\mbox{\boldmath$x$} + \varepsilon(\delta \mbox{\boldmath$x$}), \dot{\mbox{\bold... ...\varepsilon(\delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}) ,t_1 + \varepsilon \cdot \delta t$ という軌道を通った場合の補助関数の差を $\Delta V$ としたとき、これが0となる場合が極値となる。

すなわち

$$\Delta V = \int^{t_1 + \varepsilon \cdot \delta t}_{t_i} L' [ (\mbox{\boldma... ...x{\boldmath$x$}} + \varepsilon \cdot \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}) ,t ] d t$$

$$- \int^{t_1}_{t_i} L' [ \mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t] d t$$

$$= \int^{t_1}_{t_i} [ L' \{ (\mbox{\boldmath$x$} + \varepsilon \cdot... ...oldmath$x$}}) ,t \} - L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) ] d t$$

$$+ \int^{t_1 + \varepsilon \cdot \delta t}_{t_i} L' [ (\mbox{\bold... ...x{\boldmath$x$}} + \varepsilon \cdot \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}) ,t ] d t$$

となる。上式にTaylor展開を適用すると

$$\Delta V(\varepsilon) = \int^{t_1}_{t_i} [ \varepsilon \frac{\partial L'} {\partial \mbox... ...lta \dot{\mbox{\boldmath$x$}} + (\varepsilon^2,\varepsilon^3,\cdots,の項) ] d t$$

$$+ \int^{t_1 + \varepsilon \cdot \delta t}_{t_i} [ L'(\mbox{\boldm... ...rtial L'} {\partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$\hspace{4.0cm} + (\varepsilon^2,\varepsilon^3,\cdots,の項) ] d t$$

のようになり、極値となる条件は

$$\left. \frac{\partial(\Delta V)} {\partial \varepsilon} \right\vert _{\varepsilon=0} = \int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'} {\partial \mbox{\boldm... ...partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \right] d t$$

$$+ \frac{\partial}{\partial \varepsilon} [ \varepsilon \cdot \delt... ...ldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) ]_{\stackrel{\varepsilon = 0}{t = t_1}}$$

$$+ \left[ \int^{t_1+\varepsilon \delta t}_{t_i} \left( \frac{\part... ...th$x$}}} \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \right) d t \right]_{\varepsilon = 0}$$

$$= \int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'} {\partial \mbox{\boldm... ...partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} \delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \right] d t$$

$$+ [ L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) \cdot \delta t ]_{t = t_1} = 0$$

である。

上式の被積分関数の第2項に(2.182)式の部分積分を適用すると、

$$\int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'}{\partial \mbox{\boldmath$... ... L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) \cdot \delta t ]_{t = t_1}$$

$$= 0$$ (2.233)

となる。

２ー１８図より

$$\varepsilon \cdot \delta \mbox{\boldmath$x$}(t_1 + \varepsil... ...1) + \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t_1) \cdot \varepsilon \delta t$$ (2.234)

の関係があり、かつ $\delta \mbox{\boldmath$x$}(t_i) = 0$ ゆえ(2.236)式は

$${ \int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'}{\partial \mbox{\bold... ...ot{\mbox{\boldmath$x$}}} \right) \right] \delta \mbox{\boldmath$x$} \cdot d t }$$

$$+ \frac{\partial L'} {\partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} ( \delt... ...) \delta t ) + [ L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) \delta t ]$$

$$= \int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'}{\partial \mbox{\boldma... ...t{\mbox{\boldmath$x$}}} \delta \mbox{\boldmath$x$} (t_1 + \varepsilon \delta t)$$

$$+ \left[ \{ L'(\mbox{\boldmath$x$},\dot{\mbox{\boldmath$x$}},t) -... ...{\boldmath$x$}}} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t) \} \delta t \right]_{t = t_1} = 0$$ (2.235)

になる。

$$\frac{\partial L'}{\partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} = \le... ... \mbox{\boldmath$x$}} \right\}^T - \mbox{\boldmath$\lambda$}^T$$ (2.236)

ゆえ(2.238)式は

$$\int^{t_1}_{t_i} \left[ \frac{\partial L'}{\partial \mbox{\boldma... ...rtial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} \right) \right] \delta \mbox{\boldmath$x$} d t$$

$$+ \left[ \left\{ \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\parti... ...\}^T - \lambda^T \right] \delta \mbox{\boldmath$x$}(t_1 + \varepsilon \delta t)$$

$$+ \left[ \left\{L(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},t) + \l... ...l S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\partial t}\right\} \delta t \right]_{t = t_1} = 0$$

となる。 $\varepsilon \rightarrow 0$ ゆえ、 $t_1 = t_1 + \varepsilon \delta t \equiv t_f$ とし、かつ上式が任意の $\delta \mbox{\boldmath$x$}(t_f),\delta t_f$ のとき 成立するには

$$\frac{\partial L'}{\partial \mbox{\boldmath$x$}} - \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L'} {\partial \dot{\mbox{\boldmath$x$}}} \right ) = 0$$ (2.237)

$$\left[ \left \{ \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\partia... ...x{\boldmath$x$}} - \lambda \right \}^T \delta \mbox{\boldmath$x$} \right]_{t_f}$$

$$+ \left[ \left \{ H(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$}... ...ial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\partial t} \right \} \delta t \right]_{t_f} = 0$$ (2.238)

でなければならない。前者はオイラー方程式であり、後者は横断性
(Transervality Condition)の条件という。

$\mbox{\boldmath$u$}$ に関するオイラー方程式も前項と同様に成立するので

$$\left \{ \begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$\lambda$}} =... ...t)} {\partial \mbox{\boldmath$\lambda$}} \end{array} \right.$$ (2.239)

の各式が成立する。

以上より、最適制御を求める手順としては、
（第1段階）

$$H(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},\mbox{\boldmath$\l... ...\mbox{\boldmath$f$}(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},t)$$ (2.240)

を作る。
（第2段階）
$H(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t)$ を最小にする $\mbox{\boldmath$u$}$ を求め、

$$\mbox{\boldmath$u$}_0 = \mbox{\boldmath$u$}_0(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t)$$ (2.241)

とする。
（第3段階）
最適 $H$ 関数

$$H_0(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t) = H(\mb... ...\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t)$$ (2.242)

を求める。
（第4段階）

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \frac{\partial H_0(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t)} {\partial \mbox{\boldmath$\lambda$}}$$ (2.243)

$$\dot{\mbox{\boldmath$\lambda$}} = - \frac{\partial H_0(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t)} {\partial \mbox{\boldmath$x$}}$$ (2.244)

を初期条件及び最終条件、又は次の横断性の条件によって解く。

$$\left[ \left\{ \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\p... ...math$x$},t)} {\partial t} \right\}\delta t \right]_{t_f} = 0$$ (2.245)

この場合、最終条件 $\mbox{\boldmath$x$}(t_f),t_f$ が指定されている場合は $\delta \mbox{\boldmath$x$}(t_f) = 0, \\ \delta_{t_f} = 0$ であり、また指定されていないときは

$$\left[ \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)}{\partial \mbox{\boldmath$x$}} - \mbox{\boldmath$\lambda$} \right]_{t_f} = 0$$ (2.246)

$$\left[ H_0(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$\lambda$},t) + \fr... ...tial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\partial \mbox{\boldmath$x$}} \right]_{t_f} = 0$$ (2.247)

である。
（第5段階）

以上の結果を $\mbox{\boldmath$u$}_0$の式に代入して最適制御を得る。
［例1］

システム方程式

$$\dot{x} = -2 \sqrt{2} x + u$$ (2.248)

評価関数

$$J = \int^{1}_{0} (x^2 + u^2) d t$$ (2.249)

$t = 0$ の時 $x(0) = 2$ 、最終時間 $t = 1$ でその時の状態は自由とする。
（第1段階）

$$H = \lambda(-2 \sqrt{2} x + u) + (x^2 + u^2)$$ (2.250)

（第2段階）

$$\frac{\partial H}{\partial u} = \lambda + 2 u =0$$ (2.251)

$$u_{0} = - \frac{\lambda}{2}$$ (2.252)

（第3段階）

$$H_0 = -2 \sqrt{2} \lambda x - \frac{\lambda^2}{4} + x^2$$ (2.253)

（第4段階）

$$\dot{x} = -2 \sqrt{2} x - \frac{\lambda^2}{2}$$ (2.254)

$$\dot{\lambda} = 2 \sqrt{2} \lambda - 2 x$$ (2.255)

両式より

$$- \frac{\ddot{\lambda}}{2} + \frac{9}{2} \lambda = 0$$ (2.256)

解は

$$\lambda = K_1 e^{3t} + K_2 e^{-3t}$$ (2.257)

$$x = K_1(\sqrt{2} - \frac{3}{2}) e^{3t} + K_2(\sqrt{2} + \frac{3}{2}) e^{-3t}$$ (2.258)

$t = 0$ で $x = 2$ とすると

$$(\sqrt{2} - \frac{3}{2}) K_1 + (\sqrt{2} + \frac{3}{2}) K_2 = 2$$ (2.259)

$S(\mbox{\boldmath$x$},t) = 0$ ゆえ(2.249)式より

$$- \lambda \delta x \vert _{t_f} + H_0 \delta t \vert _{t_f} = 0$$ (2.260)

最終時間が与えられているので $\delta t = 0$

$$- \lambda(t_f) \delta x = 0$$ (2.261)

$t_f = 1,\delta x \neq 0$ ゆえ

$$\lambda(1) = 0$$ (2.262)

(2.261)式に代入すると

$$K_1 = - K_2 e^{-6}$$ (2.263)

(2.263)式に代入して

$$K_2 = 0.687$$ (2.264)

$$\lambda = -0.687 e^{-6} e^{3t} + 0.687 e^{-3t}$$ (2.265)

（第5段階）

$$u_0 = -0.343(e^{-3t} - e^{-6} \cdot e^{3t})$$ (2.266)

$$x = -0.687(\sqrt{2} - \frac{3}{2}) e^{-6} \cdot e^{3t} + 0.687(\sqrt{2} + \frac{3}{2}) e^{-3t}$$

$$\simeq 2 e^{-3t}$$ (2.267)

このとき

$$H_0 = 4 \sqrt{2} u_0 x - u^{2}_{0} + x^2$$

$$= -3.88 e^{-6t} - 0.117 e^{-6t} + 4 e^{-6t} \simeq 0$$ (2.268)

である。
［例2］

状態変数を $x_1,x_2,x_3,x_4$ とし、評価関数が次のMeyer形とする。

$$J = - x_3(t_f)$$ (2.269)

この場合、最終時間 $t_f$ が規定されているとすると $\delta t = 0$ であり、かつ

$$S(\mbox{\boldmath$x$},t) = -x_3$$ (2.270)

ゆえ、横断性の条件は

$${ \left[ \left( \frac{\partial S}{\partial x_1} -\lambda_1 \right... ...+ \left( \frac{\partial S}{\partial x_2} -\lambda_2 \right) \delta x_2 \right.}$$

$$+ \left. \left. \left( \frac{\partial S}{\partial x_3} -\lambda_3... ...l S}{\partial x_4} -\lambda_4 \right) \delta x_4 \right] \right\vert _{t_f} = 0$$ (2.271)

すなわち

$$\left. [ - \lambda_1 \delta x_1 - \lambda_2 \delta x_2 -(1 ... ...da_3)\delta x_3 -\lambda_4 \delta x_4 ] \right\vert _{t_f} = 0$$ (2.272)

となる。 $\delta x_1,\delta x_2,\delta x_3,\delta x_4$ が任意のとき、

$$\left. \begin{array}{l} \lambda_1(t_f) = \lambda_2(t_f) = \lambda_4(t_f) = 0 \\ \lambda_3(t_f) = -1 \end{array} \right \}$$ (2.273)

であり、もし $x_1(t_f)$ が指定されていると

$$\left. \begin{array}{l} \lambda_2(t_f) = \lambda_4(t_f) = 0 \\ \lambda_3(t_f) = -1 \end{array} \right \}$$ (2.274)

さらに $x_4(t_f)$ が指定されていると

$$\left. \begin{array}{l} \lambda_2(t_f) = 0 \\ \lambda_3(t_f) = -1 \end{array} \right \}$$ (2.275)

が境界条件となる。
［例3］

システム方程式

$$\dot{x} = - x + u$$ (2.276)

評価関数

$$J = \frac{1}{2} \int^{1}_{0} u^2 d t - A x(1)$$ (2.277)

$t = 0$ の時 $x(0) = 0$ 、最終時間 $t = 1$ でその時の状態は自由とする。
（第1段階）

$$H = \frac{1}{2} u^2 - \lambda x + \lambda u$$ (2.278)

（第2段階）

$$\frac{\partial H}{\partial u} = u + \lambda = 0$$ (2.279)

$$u_{0} = - \lambda$$ (2.280)

（第3段階）

$$H_0 = - \frac{\lambda^2}{2} - \lambda x$$ (2.281)

（第4段階）

$$\left \{ \begin{array}{l} \dot{x} = \frac{\partial H_0}{\pa... ...\frac{\partial H_0}{\partial x} = \lambda \end{array} \right.$$ (2.282)

両式より

$$\ddot{x} - x = 0$$ (2.283)

解は

$$x = K_1 e^{-t} + K_2 e^{t}$$ (2.284)

$t = 0$ で $x = 0$ より

$$x = K_1(e^{-t} - e^{t})$$ (2.285)

$t_f= 1$ と指定されているから、$\delta t = 0$ となり

$$\left. \frac{\partial S(\mbox{\boldmath$x$},t)} {\partial \mbox{\boldmath$x$}} - \lambda \right \vert _{t_f} = 0$$ (2.286)

$$\left. \frac{\partial [ - A x ]} {\partial \mbox{\boldmath$x$}} - \lambda \right \vert _{t_f} = - A - \lambda \vert _{t_f} = 0$$ (2.287)

$$\lambda\vert _{t_f} = - A$$ (2.288)

$$\lambda = - \dot{x} - x = 2 K_1 e^t$$ (2.289)

$$\lambda\vert _{t_f} = \lambda\vert _{t = 1} = 2 K_1 e = - A$$ (2.290)

$$K_1 = - \frac{A}{2} e^{-1}$$ (2.291)

$$\lambda = - A e^{t - 1}$$ (2.292)

（第5段階）

$$u_0 = - \lambda = A e^{t - 1}$$ (2.293)

が得られる。