• リカッチ形微分方程式の誘導
• パラメータ最適化による誘導
• リカッチ形微分方程式の解法
• プロパーな系の最適制御

リカッチの方法 (Riccati equation)

リカッチ形微分方程式の誘導

(2.298)式の代わりにシステム方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$u$}$$ (2.326)

とし、(2.299)式の代わりに評価関数を次の２次形式

$$J=\int_{0}^{t_f}(\mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$Q$}\... ...box{\boldmath$u$}^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$})dt$$ (2.327)

とする。ここで $\mbox{\boldmath$Q$},\mbox{\boldmath$R$}$は重み係数といい対称マトリックスで $\mbox{\boldmath$Q$}$は準正定、 $\mbox{\boldmath$R$}$は正定、 $\mbox{\boldmath$u$}$は拘束がないものとする。(2.316)式より

$$H(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},\nabla \mbox{\bol... ...+\mbox{\boldmath$u$}^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$}$$ (2.328)

になり、(2.321)式に適用して

$$\frac{\partial H}{\partial \mbox{\boldmath$u$}}=\mbox{\bold... ...\mbox{\boldmath$v$}+2\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$}=0$$ (2.329)

$$\mbox{\boldmath$u$}_{0}=-\frac{1}{2}\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\nabla\mbox{\boldmath$v$}$$ (2.330)

を得る。(2.335)式を(2.333)式に代入すると

$$H_{0}(\mbox{\boldmath$x$},\nabla \mbox{\boldmath$v$},t)=\nab... ... \mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.331)

になる。したがってハミルトンヤコビの式は

$$\nabla \mbox{\boldmath$v$}^{T}\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\bold... ...oldmath$Q$}\mbox{\boldmath$x$}+\frac{\partial V}{\partial t}=0$$ (2.332)

となる。この偏微分方程式を解くのに、次のようにおく。

$$V(\mbox{\boldmath$x$},t)=\mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldm... ...{\boldmath$u$}^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$})d\tau$$ (2.333)

ここに $\mbox{\boldmath$P$}(t)$ は正定対称行列で$t=t_{f}$ の時、 $\mbox{\boldmath$P$}(t_{f})=0$ 。 上式より

$$\nabla \mbox{\boldmath$v$}=\frac{\partial V}{\partial V{x}}=2\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.334)

また

$$\frac{\partial V}{\partial t} = \mbox{\boldmath$x$}^{T} \dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t) \mbox{\boldmath$x$}$$ (2.335)

(2.339)式(2.340)式を(2.337)式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$x$}^{T}[2\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldma... ...oldmath$Q$}+\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)]\mbox{\boldmath$x$}=0$$ (2.336)

になる。また

$$\mbox{\boldmath$x$}^{T}2\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\... ...x{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$}$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\... ...ldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$}]^{T}$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}\... ...oldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$A$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.337)

ゆえ(2.341)式は

$$\mbox{\boldmath$x$}^{T}[\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldma... ...oldmath$Q$}+\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)]\mbox{\boldmath$x$}=0$$ (2.338)

となる。任意の $\mbox{\boldmath$x$}$に対し上式が成立するには

$$\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$A$... ...ath$P$}(t) +\mbox{\boldmath$Q$}+\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)=0$$ (2.339)

でなければならない。これはリカッチ形の微分方程式である。これを $\mbox{\boldmath$P$}(t_{f})=0$の条件のもとで得られた解 $\mbox{\boldmath$P$}(t),0\leq t \leq t_f$と (2.339)式を(2.335)式に適用すると

$$\mbox{\boldmath$u$}_0 = -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.340)

になり

$$\mbox{\boldmath$K$}(t)=\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)$$ (2.341)

とおくと

$$\mbox{\boldmath$u$}_0(\mbox{\boldmath$x$},t)=-\mbox{\boldmath$K$}(t)\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.342)

となる。これをブロック図に書くと 図2.19 のごとくなる。 すなわち $\mbox{\boldmath$K$}(t)$が最適フィードバックゲインを与えることになる。

図 2.19: ブロック図

図 2.20: 変化特性

$\mbox{\boldmath$P$}(t)$は通常 図2.20 のごとく、初期時刻の間は大体一定値を保ち、 最終時刻に近づいてから変化するという特性を持っている。したがって制御時間が 充分長いときは、 $\mbox{\boldmath$P$}(t)$が一定値を保っている間に制御が完了する。したがって $t_f=\infty$のときは $\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)=0$として扱うことができる。

すなわち評価関数が

$$J=\int_{0}^{\infty}(\mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$... ...ox{\boldmath$u$}^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$})dt$$ (2.343)

のときは(2.344)式は

$$\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$A$}^{... ...box{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}+\mbox{\boldmath$Q$}=0$$ (2.344)

となり、これをリカッチ形代数方程式という。この場合 $\mbox{\boldmath$P$}$を正定の定数として求め

$$\mbox{\boldmath$u$}_0 = -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.345)

$$\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}$$ (2.346)

となって、最適フィードバックゲインは定数となる。

パラメータ最適化による誘導

いま最適制御法則が得られたとして

$$\mbox{\boldmath$u$}_0=-\mbox{\boldmath$K$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.347)

とする。これを評価関数に代入すると

$$V(\mbox{\boldmath$x$},t)=\int_{t}^{\infty}\mbox{\boldmath$x$... ...T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$K$})\mbox{\boldmath$x$}dt$$ (2.348)

となり、時間で微分すると

$$\dot{V}(\mbox{\boldmath$x$},t)=-\mbox{\boldmath$x$}^{T}(\mbo... ...^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$K$})\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.349)

となる。系が安定であるためには、$V$をリアプノフ関数として考えるとき、 $V$が正定であり、$\dot{V}<0$であればよい。そこで

$$V=\mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.350)

とおく。そのとき

$$\dot{V} = \dot{\mbox{\boldmath$x$}}^{T}\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$x$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}\dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^{T}[(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\... ...\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$K$})]\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.351)

となる。(2.354)式と(2.356)式を等値とすると

$$(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$K$})... ...-\mbox{\boldmath$K$}^{T}\mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$K$}$$ (2.352)

となる。ここで $\mbox{\boldmath$K$}$の変化に対して $\mbox{\boldmath$P$}$を最小にする。そのため上式を $\mbox{\boldmath$K$}$ で偏微分して

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$P$}}{\partial \mbox{\boldmath... ...{\partial \mbox{\boldmath$K$}}{\partial \mbox{\boldmath$K$}}=I$$ (2.353)

とおくと

$$-\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}-\mbox{\boldmath$P$... ...$}\mbox{\boldmath$K$}-\mbox{\boldmath$K$}^T\mbox{\boldmath$R$}$$ (2.354)

$$\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$B$}=\mbox{\boldmath$K$}^T\mbox{\boldmath$R$}$$ (2.355)

が得られる。これを(2.357)式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$A$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}+\mbox{\boldmath$P... ...box{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}+\mbox{\boldmath$Q$}=0$$ (2.356)

となり、(2.349)式で得られたリカッチ形代数方程式と同じ結果が得られる。 したがって最適フィードバックゲインは(2.351)式より求められる。

$[$例$]$

システム方程式

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\left[ \begin{array}{cc} 0&1\\ ... ...th$x$}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right]u$$ (2.357)

評価関数

$$J=\int_{0}^{\infty}(4x_{1}^{2}+u^{2})dt$$ (2.358)

の場合の最適制御方則を求める。

$t_f\rightarrow\infty$であるから

$$\mbox{\boldmath$P$}= \left[ \begin{array}{cc} P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22} \end{array} \right]$$ (2.359)

とし、(2.362),(2.363),(2.364)式を(2.349)式に代入すると

$$\left[ \begin{array}{cc} P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22} \end{arra... ...ght] \left[ \begin{array}{cc} P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22} \end{array}\right]$$

$$-\left[ \begin{array}{cc} P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22} \end{arr... ...ght] \left[ \begin{array}{cc} P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22} \end{array}\right]$$

$$+\left[ \begin{array}{cc} 4&0\\ 0&0 \end{array}\right]=0$$ (2.360)

$$\left[ \begin{array}{cc} -P_{12}^{2}+4&P_{11}-P_{12}P_{22}\\ P_{11}-P_{12}P_{22}&2P_{12}-P_{22}^{2} \end{array}\right]=0$$ (2.361)

となり、これより

$$\left\{ \begin{array}{l} -P_{12}^{2}+4=0\\ P_{11}-P_{12}P_{22}=0\\ 2P_{12}-P_{22}^{2}=0 \end{array}\right.$$ (2.362)

$$P_{12}=2\quad ,\quad P_{22}=2\quad ,\quad P_{11}=4$$ (2.363)

が得られる。したがって

$$\mbox{\boldmath$P$}= \left[ \begin{array}{cc} 4&2\\ 2&2 \end{array}\right]$$ (2.364)

$$\mbox{\boldmath$U$}_{0}=-2(x_{1}+x_{2})$$ (2.365)

になる。これをブロック線図にすると 図2.21 となる。

図 2.21: ブロック線図

リカッチ形微分方程式の解法

(2.344)式よりベクトル・リカッチ形微分方程式は

$$-\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)=\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldma... ...dmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$P$}(t)+\mbox{\boldmath$Q$}$$

$$境界条件\mbox{\boldmath$P$}(t_f)=\mbox{\boldmath$P$}_0$$ (2.366)

である。

いま $\mbox{\boldmath$F$},\mbox{\boldmath$G$}$なる正方行列を次のようにおく。

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{\mbox{\boldmath$F$}}(t)\\ \dot... ...{\boldmath$F$}(t)\\ \mbox{\boldmath$G$}(t) \end{array}\right]$$ (2.367)

ただし境界条件 $\left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$F$}(t_f)\\ \mbox{\boldmath$G$}(t_f) \e... ...\right] = \left[ \begin{array}{c} I\\ \mbox{\boldmath$P$}_0 \end{array}\right]$とする。

もし

$$\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$F$}(t)=\mbox{\boldmath$G$}(t)$$ (2.368)

なら、これを偏微分すると

$$\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)\mbox{\boldmath$F$}(t)+\mbox{\bo... ...$}(t)\dot{\mbox{\boldmath$F$}}(t)=\dot{\mbox{\boldmath$G$}}(t)$$ (2.369)

となり、これに(2.372)式の関係を代入すると

$$\dot{\mbox{\boldmath$P$}}(t)\mbox{\boldmath$F$}(t)+\mbox{\boldmat... ...math$B$}\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^{T}\mbox{\boldmath$G$}(t)\}$$

$$= -\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$F$}(t)-\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$G$}(t)$$

$$= -\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$F$}(t)-\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}(t)\mbox{\boldmath$F$}(t)$$

となり、元のリカッチ方程式となる。

したがって(2.373)式より

$$\mbox{\boldmath$P$}(t)=\mbox{\boldmath$G$}(t)\mbox{\boldmath$F$}^{-1}(t)$$ (2.370)

がリカッチ方程式の解である。

そこで(2.372)式の同次方程式の遷移マトリックスを

$$\Phi(t)= \left[ \begin{array}{cc} \Phi_{11}(t)&\Phi_{12}(t)\\ \Phi_{21}(t)&\Phi_{22}(t) \end{array}\right]$$ (2.371)

とすれば、解は境界条件を考慮して

$$\left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$F$}(t)\\ \mbox{\boldmath$G$}(t) \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cc} \Phi_{11}(t,t_f)&\Phi_{12}(t,t_f)\\ \Ph... ...ray}{c} \mbox{\boldmath$F$}(t_f)\\ \mbox{\boldmath$G$}(t_f) \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{c} \Phi_{11}(t,t_f)+\Phi_{12}(t,t_f)\cdot\mb... ... \Phi_{21}(t,t_f)+\Phi_{22}(t,t_f)\cdot\mbox{\boldmath$P$}_0 \end{array}\right]$$ (2.372)

になる。この時、$t$を$t-t_f$に置き換える。したがって(2.376)式より

$$\mbox{\boldmath$P$}(t)=[\Phi_{21}(t,t_f)+\Phi_{22}(t,t_f)\mb... ... [\Phi_{11}(t,t_f)+\Phi_{12}(t,t_f)\mbox{\boldmath$P$}_0]^{-1}$$ (2.373)

となる。もし $\mbox{\boldmath$P$}_0=0$のときは

$$\mbox{\boldmath$P$}(t)=\Phi_{21}(t,t_f)\cdot \Phi_{11}^{-1}(t,t_f)$$ (2.374)

になる。(2.379)又は(2.380)式より解が求められる。

$[$例$]$

システム方程式

$$\dot{x} = - x + u$$ (2.375)

評価関数

$$J=\int_{0}^{t_f}(x^{2}+u^{2})dt$$ (2.376)

とした場合の最適制御法則を求める。 上式より

$$\mbox{\boldmath$A$}=-1,\mbox{\boldmath$B$}=1,\mbox{\boldmath$Q$}=1,\mbox{\boldmath$R$}=1,\mbox{\boldmath$P$}(t)=P(t)$$

となるので、リカッチ微分方程式は

$$-\dot{P}(t)=-2P(t)-P^2(t)+1$$ (2.377)

になる。(2.372)式より

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{F}(t)\\ \dot{G}(t) \end{array}... ...right] \left[ \begin{array}{c} F(t)\\ G(t) \end{array}\right]$$ (2.378)

となるので、この式の遷移マトリックス$\Phi(t)$は

$$\Phi(t) = {\cal L}^{-1}\left\{\left(sI-\left[ \begin{array}{cc} -1 & -1\\ -1 & 1 \end{array}\right]\right)^{-1}\right\}$$

$$= {\cal L}^{-1}\left(\left[ \begin{array}{cc} s+1 & 1\\ 1 & s+1 \e... ... & \frac{-1}{s^2-2} \\ \frac{-1}{s^2-2} & \frac{s+1}{s^2-2} \end{array}\right]$$

$$= \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} (-1+\sqrt{2})e^{\sqrt{... ...+(1+\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}t} \\ e^{-\sqrt{2}t}-e^{\sqrt{2}t} \end{array}\right.$$

$$\hspace{1.5cm}\left. \begin{array}{c} e^{-\sqrt{2}t}-e^{\sqrt{2}t} \\ (1+\sqrt{2})e^{\sqrt{2}t}-(1-\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}t} \end{array}\right]$$ (2.379)

になる。

境界条件$t=t_f$で $\mbox{\boldmath$P$}(t_f)=\mbox{\boldmath$P$}_0=0$とした場合上式の$t$を$(t-t_f)$ に置き換えて、(2.380)式より

$$P(t) = \Phi_{21}(t,t_f)\cdot \Phi_{11}^{-1}(t,t_f)$$

$$= \left\{ \frac{1}{2\sqrt{2}}(e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}-e^{\sqrt{2}(t-t_f)})\right\}$$

$$\left\{ \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( (\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}(t-t_f)}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}\right)\right\}^{-1}$$

$$= \frac{e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}-e^{\sqrt{2}(t-t_f)}} {(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}(t-t_f)}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}}$$ (2.380)

となる。

ゆえに(2.345)式より

$$u_0(x,t)=-\frac{e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}-e^{\sqrt{2}(t-t_f)}} {(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}(t-t_f)}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}(t-t_f)}}x$$ (2.381)

となる。$t_f\to \infty$ とした場合

$$P=\sqrt{2}-1\equiv P_c$$ (2.382)

という定数になる。したがって

$$u_0(x)=-(\sqrt{2}-1)x$$ (2.383)

となる。これをブロック線図にしたのが 図2.22 である。

図 2.22: ブロック線図

プロパーな系の最適制御

システム方程式が次のようにプロパー（厳密プロパーでなく）な場合を考える。

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$B$}\mbox{\boldmath$u$}$$ (2.384)

$$\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$D$}\mbox{\boldmath$u$}$$ (2.385)

評価関数を

$$J=\int_0^{t_f}(\mbox{\boldmath$y$}^T \mbox{\boldmath$Q$}\mbo... ...mbox{\boldmath$u$}^T \mbox{\boldmath$R$}\mbox{\boldmath$u$})dt$$ (2.386)

とする。 $\mbox{\boldmath$Q$}$は準正定対称、 $\mbox{\boldmath$R$}$は正定対称行列とする。上式に(2.391) 式を適用すると

$$J=\int_0^{t_f}[\mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$C$}^T \m... ...^T\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}]dt$$ (2.387)

となる。ここで

$$\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}\equiv\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$C$}$$ (2.388)

$$\bar{\mbox{\boldmath$R$}}\equiv\mbox{\boldmath$R$}+\mbox{\boldmath$D$}^T\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$D$}$$ (2.389)

$$\bar{\mbox{\boldmath$S$}}\equiv\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$D$}$$ (2.390)

とおくと、(2.393)式は

$$J=\int_0^{t_f}[\mbox{\boldmath$x$}^T\bar{\mbox{\boldmath$Q$}... ...oldmath$u$}^T\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}]dt$$ (2.391)

になる。(2.326)式より

$$H(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$u$},\nabla\mbox{\boldm... ...{\boldmath$u$}^T\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.392)

となり、(2.311)式に適用して、

$$\frac{\partial H}{\partial \mbox{\boldmath$u$}}=\mbox{\boldm... ...oldmath$u$}+ 2\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}=0$$ (2.393)

より

$$\mbox{\boldmath$u$}_0=-\frac{1}{2}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^... ...\boldmath$v$}+2\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}]$$ (2.394)

を得る。(2.400)式を(2.398)式に代入すると、

$$H(\mbox{\boldmath$x$},\nabla\mbox{\boldmath$v$},t) = \nabla\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$x$}... ...\boldmath$v$}+\mbox{\boldmath$x$}^T\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}\mbox{\boldmath$x$}$$

$$-\mbox{\boldmath$x$}^T \bar{\mbox{\boldmath$S$}}\bar{\mbox{\boldm... ...B$}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.395)

となる。$t_f=\infty$の場合ハミルトン・ヤコビの式は

$$\nabla\mbox{\boldmath$v$}^T(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldm... ...ath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)\mbox{\boldmath$x$}=0$$ (2.396)

になる。ここで(2.389)式と同様

$$\nabla\mbox{\boldmath$v$}=\frac{\partial V}{\partial \mbox{\boldmath$x$}}=2\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.397)

とおくと、

$$2\mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$P$}(\mbox{\boldmath$A$... ...ath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)\mbox{\boldmath$x$}=0$$ (2.398)

となり、左辺の第１項を(2.342)式と同様の方法で分けると

$$\mbox{\boldmath$x$}^T[\mbox{\boldmath$P$}(\mbox{\boldmath$A$}-\mb... ...dmath$B$}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}$$

$$\hspace{2cm} {}+(\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}-\bar{\mbox{\boldmath$S... ...ar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)]\mbox{\boldmath$x$} =0$$ (2.399)

になり、任意の $\mbox{\boldmath$x$}$ に対し上式が成立するには

$$\mbox{\boldmath$P$}(\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\bar{\... ...dmath$B$}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}$$

$$\hspace{2cm} {}+(\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}-\bar{\mbox{\boldmath$S$}}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)=0$$ (2.400)

が満たされればよい。これがリッカチ型の代数方程式である。 この式の解 $\mbox{\boldmath$P$}$ を用い、(2.400)式より

$$\mbox{\boldmath$u$}_0=-\frac{1}{2}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^... ...{\boldmath$P$}+\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T]\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.401)

が得られ最適フィード・バックゲインは

$$\mbox{\boldmath$K$}=\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}[\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}+\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T]$$ (2.402)

となる。

このことは

$$\mbox{\boldmath$A$}\to (\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\bar{\mbox{\boldmath$R$}}^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)$$

とし、評価関数を

$$\int_0^{\infty}[\mbox{\boldmath$x$}(t)^T(\bar{\mbox{\boldmat... ...}(t)^T\bar{\mbox{\boldmath$R$}}\bar{\mbox{\boldmath$u$}}(t)]dt$$ (2.403)

とした場合のレギュレータ問題と等しい。ただし
$\bar{\mbox{\boldmath$u$}}(t)=\mbox{\boldmath$u$}(t)+\bar{\mbox{\boldmath$R$}}(t)^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T\mbox{\boldmath$x$}(t)$ である。なお(2.409)式は次のように表示することもできる。

$$\mbox{\boldmath$P$}\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$A$}^T... ...h$P$}+\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T)+\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}=0$$ (2.404)

$[$例$]$

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\left[ \begin{array}{cc} 0&0\\ 1&... ...\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right] \mbox{\boldmath$u$}$$ (2.405)

$$\mbox{\boldmath$y$}=\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end... ... \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$u$}$$ (2.406)

かつ

$$\mbox{\boldmath$Q$}=\left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right] \quad , \quad \mbox{\boldmath$R$}=1$$

の場合、(2.394)$\sim$(2.396)式より

$$\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}= \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&... ...ldmath$S$}}= \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right]$$

を得る。したがって

$$\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$B$}\bar{\mbox{\boldmath$... ...^T= \left[ \begin{array}{cc} -0.5&0\\ 0.5&0 \end{array}\right]$$

$$\bar{\mbox{\boldmath$Q$}}-\bar{\mbox{\boldmath$S$}}\bar{\mbo... ...$}}^T= \left[ \begin{array}{cc} 0.5&0\\ 0&1 \end{array}\right]$$

となり、これらを(2.406)式に代入すると

$$\left[ \begin{array}{cc} -0.5p_{11}+0.5p_{12}&0\\ -0.5p_{12}+0.5p_{22}&0 \end{array}\right]$$

$$+ \left[ \begin{array}{cc} -0.5p_{11}+0.5p_{12}&-0.5p_{12}+0.5p_{22}\\ 0&0 \end{array}\right]$$

$$-\left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{2}(p_{11}+p_{12})^2& \frac{1}{... ...(p_{11}+p_{12})(p_{12}+p_{22})& \frac{1}{2}(p_{12}+p_{22})^2 \end{array}\right]$$

$$+ \left[ \begin{array}{cc} 0.5&0\\ 0&1 \end{array}\right] =0$$

になる。ゆえに

$$(-p_{11}+p_{12})-\frac{1}{2}(p_{11}+p_{12})^2+0.5=0$$ (2.407)

$$(-p_{12}+p_{22})-(p_{11}+p_{12})(p_{12}+p_{22})=0$$ (2.408)

$$\frac{1}{2}(p_{12}+p_{22})^2=1$$ (2.409)

の関係を得る。

(2.416)式より

$$p_{12}+p_{22}=\sqrt{2}$$ (2.410)

これを(2.415)式に代入すると

$$(\sqrt{2}-2p_{12})-(p_{11}+p_{12})\sqrt{2}=0$$ (2.411)

(2.417),(2.418)式を用いて、$p_{22}$及び$p_{11}$を$p_{12}$ で表し、これを(2.414)式に代入し、整理すると

$$p_{12}^2-2(1+\sqrt{2})p_{12}+1=0$$ (2.412)

になり、これを解いて$p_{12}$を求め、(2.417),(2.418)式より $p_{11},p_{22}$を求め、 $\mbox{\boldmath$P$}$が正定であるようにすると

$$\mbox{\boldmath$P$}= \left[ \begin{array}{cc} 0.472&0.222\\ 0.22&1.194 \end{array}\right]$$ (2.413)

を得る。したがって(2.408)式より

$$\mbox{\boldmath$K$} = \frac{1}{2}\left[ [\begin{array}{cc} 1&1 \end{array}] \left[\begi... ...2\\ 0.22&1.194 \end{array}\right] +[\begin{array}{cc} 1&0 \end{array}] \right]$$

$$= \frac{1}{2} [\begin{array}{cc} 1.692&1.414 \end{array}] =[\begin{array}{cc} 0.846&0.707 \end{array}]$$ (2.414)

がフィードバックゲインとなる。