拡張型パーフェクト・モデル・フォローイング

前項のパーフェクト・モデル・フォローイング方式では、プラントとモデルが同次数であり、 かつ両者の零点が等しくなければならず、その上（2.476）、（2.477）式で示した ｒａｎｋの条件を満たさねばならないという厳しい制限のため追随できるモデルの特性が限定される。 ここで述べる拡張形の場合は以下に示すように $\mbox{\boldmath$C$}_p$、 $\mbox{\boldmath$C$}_m$を用い、 プラントの出力 $\mbox{\boldmath$y$}_p$をモデルの出力 $\mbox{\boldmath$y$}_m$に完全に一致させるもので フィード・フォワードゲイン $\mbox{\boldmath$K$}_m$も伝達関数要素を含めた $\mbox{\boldmath$K$}_m(s)$としているので 次数や零点の制限が緩和され広範囲のモデルに追随できる方式である。

プラントとモデルのシステム方程式を次とする。

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}_p = \mbox{\boldmath$A$}_p\mbox{\boldmath$x$}_p+\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$u$}_p$$ (2.489)

$$\mbox{\boldmath$y$}_p = \mbox{\boldmath$C$}_p\mbox{\boldmath$x$}_p$$ (2.490)

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}_m = \mbox{\boldmath$A$}_m\mbox{\boldmath$x$}_m+\mbox{\boldmath$B$}_m\mbox{\boldmath$u$}_m$$ (2.491)

$$\mbox{\boldmath$y$}_m = \mbox{\boldmath$C$}_m\mbox{\boldmath$x$}_m$$ (2.492)

ただし $\mbox{\boldmath$y$}_p$と $\mbox{\boldmath$y$}_m$は同次数とする。 $\mbox{\boldmath$C$}_p$、 $\mbox{\boldmath$C$}_m$は $\mbox{\boldmath$x$}_p$、 $\mbox{\boldmath$x$}_m$の中の 追随を必要とする変数を指定するためのものである。

図 2.28:

システムの構成は図2.28のごとくであり

$$\mbox{\boldmath$u$}_p=-\mbox{\boldmath$K$}_p\mbox{\boldmath... ...oldmath$x$}_m(s)+\mbox{\boldmath$K$}_v\mbox{\boldmath$u$}_m(s)$$ (2.493)

の関係がある。入力 $\mbox{\boldmath$u$}_m$に対し、 $\mbox{\boldmath$y$}_p$が $\mbox{\boldmath$y$}_m$と完全に一致するためには、 $\mbox{\boldmath$u$}_m$から $\mbox{\boldmath$y$}_p$までの伝達関数と $\mbox{\boldmath$y$}_m$までの伝達関数を等しくする必要がある。すなわち

$$\mbox{\boldmath$C$}_p(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_p+... ...h$A$}_m)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_m+\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_v\}$$

$$=\mbox{\boldmath$C$}_m(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_m)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_m$$ (2.494)

となるようにする。そのために

$$\mbox{\boldmath$C$}_p\mbox{\boldmath$L$}_m=\mbox{\boldmath$C$}_m$$ (2.495)

となるような定数行列 $\mbox{\boldmath$L$}_m$を導入する。この $\mbox{\boldmath$L$}_m$は

$$rank\mbox{\boldmath$C$}_p=rank[\mbox{\boldmath$C$}_p\quad ,\quad \mbox{\boldmath$C$}_m]$$ (2.496)

が満足されれば存在する。次にこの $\mbox{\boldmath$L$}_m$を用いて

$$\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_v=\mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\boldmath$B$}_m$$ (2.497)

とおく。このとき

$$rank\mbox{\boldmath$B$}_p=rank[\mbox{\boldmath$B$}_p\quad ,\quad \mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\boldmath$B$}_m]$$ (2.498)

が満足するように $\mbox{\boldmath$L$}_m$が選定できれば、 $\mbox{\boldmath$K$}_v$は存在する。この（2.507）式の関係を（2.504）式に代入し、変形すると次式となる。

$$\mbox{\boldmath$C$}_p(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_p+\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_p)^{-1} \cdot$$

$$\{s\mbox{\boldmath$L$}_m-\mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\boldmath$A$}... ...$}_m(s)\}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_m)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_m$$

$$=\mbox{\boldmath$C$}_m(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_m)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_m$$ (2.499)

したがって

$$\mbox{\boldmath$C$}_p(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A... ...boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_m(s)\}=\mbox{\boldmath$C$}_m$$ (2.500)

の関係があれば（2.509）式が成立する。ここでさらに

$$\mbox{\boldmath$C$}_p\mbox{\boldmath$M$}_m(s)=\mbox{\boldmath$C$}_m$$ (2.501)

という $\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$なる行列を導入する。この $\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$は一般的には$s$の関数であって $\mbox{\boldmath$L$}_m$とは異なるが、定数にとった場合 $\mbox{\boldmath$L$}_m$と等しい場合もある。この $\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$も（2.506）式が満足されれば存在する。（2.510）、（2.511）式より

$$(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_p+\mbox{\boldmath$... ...dmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_m(s)\}=\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$$ (2.502)

という関係が得られ、これを書き直すと

$$\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_m(s)$$

$$=s\{\mbox{\boldmath$M$}_m(s)-\mbox{\boldmath$L$}_m\}+\{\mbox{\boldma... ...$M$}_m(s)\} +\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_p\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$$

$$\equiv \mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$$ (2.503)

となり、右辺を$\Gamma_m(s)$とおく。このとき

$$rank\mbox{\boldmath$B$}_p=rank[\mbox{\boldmath$B$}_p\quad ,\quad \mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)]$$ (2.504)

が成立するように $\mbox{\boldmath$L$}_m$、 $\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$が選定できれば（2.513）式から $\mbox{\boldmath$K$}_m(s)$が、（2.507）式から $\mbox{\boldmath$K$}_v$が求められる。

[例]

プラントのシステム方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}_p = \left[\begin{array}{ccc} -0.8 & -5.0 & -5.0\\ 1 & -0.4 & -0.1 ... ...}_p+ \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 5 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$u$}_p$$ (2.505)

$$y_p = \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$x$}_p$$ (2.506)

モデルのシステム方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}_m = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -16 & -5.6 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$x$}_m+ \left[\begin{array}{c} 0\\ 16 \end{array}\right]u_m$$ (2.507)

$$y_m = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$x$}_m$$ (2.508)

とする。プラントが３次、モデルが２次かつ単入力ゆえ、

$$\mbox{\boldmath$L$}_m=\left[\begin{array}{cc} l_{11} & l_{12}\\ l_{21} & l_{22}\\ l_{31} & l_{32} \end{array}\right]$$ (2.509)

とおく。（2.505）式より

$$\mbox{\boldmath$C$}_p\mbox{\boldmath$L$}_m= \left[\begin{arr... ...dmath$C$}_m= \left[\begin{array}{cc} 1&0 \end{array}\right]$$ (2.510)

ゆえに

$$l_{11}=1 \quad ,\quad l_{12}=0$$ (2.511)

したがって

$$\mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\boldmath$B$}_m= \left[\begin{arr... ...gin{array}{c} 0\\ 16l_{22}\\ 16l_{32} \end{array}\right]$$ (2.512)

（2.508）式より

$$rank[\mbox{\boldmath$B$}_p\quad , \quad \mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\... ...\\ 0 & 16l_{22} \\ 5 & 16l_{32} \end{array}\right]= rank\mbox{\boldmath$B$}_p$$

$$= rank\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right]=1$$ (2.513)

ゆえに（2.523）式が成立するためには

$$l_{22}=0$$ (2.514)

一方 $\mbox{\boldmath$M$}_m(s)$も（2.511）式より、（2.520）式の場合と同様

$$\mbox{\boldmath$M$}_m(s)=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ... ...s) & m_{22}(s) \\ m_{31}(s) & m_{32}(s) \end{array}\right]$$ (2.515)

という形になる。単入力ゆえ $\mbox{\boldmath$K$}_p$を次のようにおく。

$$\mbox{\boldmath$K$}_p=[k_{p1}\quad , \quad k_{p2}\quad , \quad k_{p3}]$$ (2.516)

以上を（2.513）式の右辺に代入すると $\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$は次式となる。

$$\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$$

$$=\left[\begin{array}{l} 5m_{21}(s)+5m_{31}(s)+0.8 \\ (s+0.4)m_{21}(... ...p2}m_{21}(s)+(s+5+5k_{p3})m_{31}(s)-sl_{31}-16l_{32}+5k_{p1} \end{array}\right.$$

$$\left.\begin{array}{l} 5m_{22}(s)+5m_{32}(s)+1 \\ (s+0.4)m_{22}(s)+... ...5k_{p2}m_{22}(s)+(s+5+5k_{p3})m_{32}(s)+l_{31}-(s+5.6)l_{32} \end{array}\right]$$

（2.514）式を満足するためには $rank[\mbox{\boldmath$B$}_p\quad ,\quad\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)]$ でなければならないから、上記の上２桁は全部０とする必要がある。故に１列目側の

$$\left\{\begin{array}{c} 5m_{21}(s)+5m_{31}(s)=-0.8 \\ (s+0.4)m_{21}(s)+0.1m_{31}(s)=sl_{21}+1 \end{array}\right.$$ (2.517)

より

$$m_{21}(s)=\frac{l_{21}s+1.016}{s+0.3}\quad , \quad m_{31}(s)=\frac{-(0.16+l_{21})s-1.064}{s+0.3}$$ (2.518)

２列目側の

$$\left\{\begin{array}{c} 5m_{22}(s)+5m_{32}(s)=-1 \\ (s+0.4)m_{22}(s)+0.1m_{32}(s)=-l_{21} \end{array}\right.$$ (2.519)

より

$$m_{22}(s)=\frac{0.02-l_{21}}{s+0.3}\quad , \quad m_{32}(s)=\frac{-\{0.25+(0.08-l_{21})\}}{s+0.3}$$ (2.520)

これを $\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$の３行目に代入すると、１列目の方は

$$5k_{p2}m_{21}(s) + (s+5+5k_{p3})m_{31}(s)-sl_{31}-16l_{32}+5k_{p1}$$

$$= - \frac{\{(0.16+l_{21})+l_{31}\}}{s+0.3}s^2$$

$$+ \frac{\{5k_{p2}l_{21}-(5+5k_{p3}) (0.16+l_{21})-1.064-0.3l_{31}\}}{s+0.3}s$$

$$+ \frac{\{5.08k_{p2}-5.32(1+k_{p3})\}}{s+0.3}-16l_{32}+5k_{p1}$$ (2.521)

２列目の方は

$$5k_{p3}m_{22}(s) + (s+5+5k_{p3})m_{32}(s)+l_{31}-(s+5.6)l_{32}$$

$$= - \frac{(0.2+l_{32})}{s+0.3}s^2-\frac{(1+k_{p3})+(0.08-l_{21})+5.9l_{32}} {s+0.3}s$$

$$+ \frac{5k_{p2}(0.02-l_{21})-(5+5k_{p3})(0.08-l_{21})-1.68l_{32}}{(s+0.3)}$$

$$+ l_{31}$$

両方とも$s^2$の項を０とするように

$$l_{31}=-0.16-l_{21}\quad ,\quad l_{32}=-0.2$$ (2.522)

にとる。また $\mbox{\boldmath$K$}_m(s)$が簡単な形になるように３行２列目を定数とするため （2.533）式の右辺第２項と第３項の比を$1$対$0.3$にとる。すなわち

$$-0.3\{(1+k_{p3})+(0.08-l_{21})+5.9l_{32}\}$$

$$=\{5k_{p2}(0.02-l_{21})-(5+5k_{p3}) (0.08-l_{21})-1.68l_{32}\}$$ (2.523)

これより$l_{21}$を算出すると

$$l_{21}=\frac{-0.094+0.1k_{p2}-0.1k_{p3}}{-4.7+5k_{p2}-5k_{p3}}=0.02$$ (2.524)

を得る。したがって（2.534）式より

$$l_{31}=-0.16-0.02=-0.18$$ (2.525)

になる。$l_{21}$を（2.529）、（2.531）式に代入すると

$$\left.\begin{array}{ll} m_{21}(s)=\frac{0.02s+1.016}{s+0.3} & m_{... ....02s-0.02}{s+0.3} & m_{32}(s)=\frac{-0.2s-0.06}{s+0.3}=-0.2 \end{array}\right\}$$ (2.526)

が得られるので、これらを $\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$の３行目に代入すると

$$\left[\begin{array}{c} \mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)の\\ ３行１列目 \end{array}\right]$$

$$\quad=\frac{(-1.91+0.1k_{p2}-0.9k_{p3})s+5(-1.064+1.016k_{p2}-1.064k_{p3})}{s+0.3}$$

$$\qquad {}+3.2+5k_{p1}$$ (2.527)

$$\left[\begin{array}{c} \mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)の\\ ３行２列目 \end{array}\right]=-0.06-k_{p3}$$ (2.528)

になる。いま $\mbox{\boldmath$K$}_p=[k_{p1} , k_{p2} , k_{p3}]=[-0.8 , 0.1 , 1.2]$にとると $det(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_p+\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_p)=0$の根は、$s_1=-8.546$と $s_{2,3}=-3.654\pm j3.956$の安定な系となる。この値は $\mbox{\boldmath$y$}_p$と $\mbox{\boldmath$y$}_m$に初期値誤差があった場合、それの減衰状況の指標となるので、なるべく速やかに減衰するように $\mbox{\boldmath$K$}_p$の値を定める必要がある。上記 $\mbox{\boldmath$K$}_p$の値を（2.539）（2.540）式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)=\left[\begin{array}{cc} 0&0\\... ...\ \frac{-(3.78s+11.436)}{(s+0.3)} & -1.26 \end{array}\right]$$ (2.529)

になる。一方 $\mbox{\boldmath$K$}_m(s)=[k_{m1}(s) , k_{m2}(s)]$とすると

$$\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_m(s)=\left[\begin{a... ...{cc} 0&0\\ 0&0\\ 5k_{m1}(s)&5k_{m2}(s) \end{array}\right]$$ (2.530)

になるので（2.513）式より $\mbox{\boldmath$B$}_p\mbox{\boldmath$K$}_m(s)=\mbox{\boldmath$\Gamma$}_m(s)$にすると

$$k_{m1}(s)=\frac{-0.756s-2.2872}{(s+0.3)}\quad ,\quad k_{m2}(s)=-0.252$$ (2.531)

が得られる。また前記 $l_{11}\sim l_{32}$を（2.507）式に適用して

$$\mbox{\boldmath$L$}_m\mbox{\boldmath$B$}_m=\left[\begin{arra... ...=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right]K_v$$ (2.532)

$$K_v=-0.64$$ (2.533)

が得られ、以上のようにして $\mbox{\boldmath$K$}_m(s)$、$K_v$が決定される。

これらを用いると完全追随になることを以下に示す。プラントの閉ループ伝達関数は

$$\mbox{\boldmath$C$}_p(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A... ...x{\boldmath$B$}_p= \frac{-25(s+0.3)}{s^3+12.2s^2+38.47s+61.98}$$ (2.534)

であり、モデルの伝達関数は

$$(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_m)^{-1}\mbox{\bold... ...\begin{array}{c} 16 \\ 16s \end{array}\right]}{s^2+5.6s+16}$$ (2.535)

である。モデルとフィード・フォワード・ゲインを加えた部分の伝達関数は

$$\mbox{\boldmath$K$}_m(s)(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmat... ...rac {-0.64(s^3+12.2s^2+38.47s+61.98)} {(s^2+5.6s+16)(s+0.3)}$$ (2.536)

したがって、モデル入力からプラント出力までの伝達関数は

$$\mbox{\boldmath$C$}_p(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_p+\mb... ...th$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_m)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_m+\mbox{\boldmath$K$}_v\}$$

$$=\frac{16}{s^2+5.6s+16}$$ (2.537)

になってモデルのそれと等しく、完全追随になっている。