基礎理論 (Luenbergerの方法)

このプラントを図2.29中の$s_1$とする。この状態変数のうち直接観測可能 な出力 $\mbox{\boldmath$y$}$と入力 $\mbox{\boldmath$u$}$を他のシステム$s_2$に加え、その出力を $\mbox{\boldmath$z$}$とする。

図 2.29:

いま、この$s_2$システムの状態方程式を次式とする。

$$\dot{\mbox{\boldmath$z$}}=\mbox{\boldmath$F$}\mbox{\boldmath... ...}+\mbox{\boldmath$H$}\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$TBu$}$$ (2.540)

但し $\mbox{\boldmath$H$}=\mbox{\boldmath$GC$}$

$\mbox{\boldmath$x$}$の次数が $n,\mbox{\boldmath$y$}$の次数が$m$であれば、 $\mbox{\boldmath$z$}$の次数は$(n-m)$である。 また $\mbox{\boldmath$T$}$はある変換行列を意味する。この $\mbox{\boldmath$T$}$を(2.550)式に掛け、(2.552)式より引くと

$$\dot{\mbox{\boldmath$z$}}-\mbox{\boldmath$T$}\dot{\mbox{\bol... ...H$}-\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.541)

となる。もし

$$\mbox{\boldmath$H$}-\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$A$}=-\mbox{\boldmath$F$}\mbox{\boldmath$T$}$$ (2.542)

という関係があると、(2.553)式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$z$}}-\mbox{\boldmath$T$}\dot{\mbox{\bol... ...$}(\mbox{\boldmath$z$}-\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$})$$ (2.543)

になる。この式の解は

$$\mbox{\boldmath$z$}-\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}=e^{Ft}\{\mbox{\boldmath$z$}(0)-\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}(0)\}$$ (2.544)

$$但し\mbox{\boldmath$z$}(0),\mbox{\boldmath$x$}(0)は初期値$$

である。この式は $\mbox{\boldmath$z$}(0)=\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}(0)$であれば$t\geq0$において $\mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}$であり、またもし $\mbox{\boldmath$z$}(0)\neq\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}(0)$でも $e^{Ft}$が減衰すれば $\mbox{\boldmath$z$}$は漸近的に $\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$x$}$に一致することを意味しており、 この $\mbox{\boldmath$z$}$を用いて $\mbox{\boldmath$x$}$を推定することができる。

観測器の設計法としては、先ず安定でかつ早く収束するように、 $\mbox{\boldmath$F$}$を定める。 つぎに $\mbox{\boldmath$G$}$（叉は $\mbox{\boldmath$H$}$）の一部を与えて

$$\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$F$}\mbox{\boldmath$T$}=\mbox{\boldmath$H$}$$ (2.545)

より $\mbox{\boldmath$T$}$を求める。     $\left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$T$}\\ \mbox{\boldmath$C$} \end{array}\right]$ は$m\times n$の行列であり、逆行列が可能であれば $\left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$z$}\\ \mbox{\boldmath$y$} \end{array}... ...ox{\boldmath$T$}\\ \mbox{\boldmath$C$} \end{array}\right] \mbox{\boldmath$x$}$ ゆえ

$$\hat{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[ \begin{array}{c} \mbox{\bo... ... \mbox{\boldmath$z$}\\ \mbox{\boldmath$y$} \end{array}\right]$$ (2.546)

より推定値 $\hat{\mbox{\boldmath$x$}}$が求められる。(2.552)式と(2.558)式によって 観測器が構成される。
$[$例$]$

図 2.30:

図2.30に示すプラントに置いて$x_1,x_3$および$u$が測定可能で、$x_2$および $x_4$を測定する観測器を設計する。 同図のプラントの状態方程式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \left[\begin{array}{cccc} -2&1&0&0\\ 0&-2&1&0\\ 0&0&-1&1\\ -1&... ... \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right] \mbox{\boldmath$u$}$$ (2.547)

$$\mbox{\boldmath$y$} = \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right] \mbox{\boldmath$x$}$$ (2.548)

である。$n=4$、$m=2$ゆえ $\mbox{\boldmath$z$}$の次数は$n-m=2$であるから(2.552)式 が安定で、かつ早く収束するように

$$\begin{array}{cc} \mbox{\boldmath$F$}= \left[ \begin{array}{... ...} g_{11}&g_{12}\\ g_{21}&g_{22} \end{array}\right] \end{array}$$ (2.549)

とおくと、

$$\mbox{\boldmath$H$}=\mbox{\boldmath$G$}\mbox{\boldmath$C$}= ... ...ccc} g_{11}&0&g_{12}&0\\ g_{21}&0&g_{22}&0 \end{array}\right]$$ (2.550)

になる。

$$\mbox{\boldmath$T$}= \left[ \begin{array}{cccc} t_{11}&t_{12}&t_{13}&t_{14}\\ t_{21}&t_{22}&t_{23}&t_{24} \end{array}\right]$$ (2.551)

とすると(2.557)式は

$$\left[\begin{array}{cccc} t_{11}&t_{12}&t_{13}&t_{14}\\ t_{21}&t... ...in{array}{cccc} -2&1&0&0\\ 0&-2&1&0\\ 0&0&-1&1\\ -1&0&0&0 \end{array}\right]$$

$$\hspace{2cm} {}-\left[\begin{array}{cc} -3&0\\ 0&-3 \end{array}\... ...} t_{11}&t_{12}&t_{13}&t_{14}\\ t_{21}&t_{22}&t_{23}&t_{24} \end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cccc} g_{11}&0&g_{12}&0\\ g_{21}&0&g_{22}&0 \end{array}\right]$$ (2.552)

になる。この式は

$$\left[ \begin{array}{cccc} (t_{11}-t_{14})&(t_{11}+t_{12})&(t_{12}+2... ...1}-t_{24})&(t_{21}+t_{22})&(t_{22}+2t_{23})&(t_{23}+3t_{24}) \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cccc} g_{11}&0&g_{12}&0\\ g_{21}&0&g_{22}&0 \end{array}\right]$$ (2.553)

となり、 $t_{12}=-t_{11},t_{13}=-3t_{14},t_{21}=-t_{22},t_{23}=-3t_{24}$および $t_{11}-t_{14}=g_{11},t_{12}+2t_{13}=g_{12},t_{21}-t_{24}=g_{21},t_{22}+2t_{23}=g_{22}$ の関係が得られ、これより次のようになる。

$$\left\{ \begin{array}{cc} t_{11}=\frac{1}{7}(6g_{11}-g_{12})... ...-g_{22})&t_{24}=-\frac{1}{7}(g_{21}+g_{22}) \end{array}\right.$$ (2.554)

$g_{11}\sim g_{22}$の値は任意にとれるが、なるべく簡単になるように $g_{11}+ g_{12}=0$、 $6g_{21}-g_{22}=0$および、 $g_{11}=g_{22}=1$ とすると

$$\mbox{\boldmath$T$} = \left[ \begin{array}{cccc} 1&-1&0&0\\ 0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6} \end{array}\right]$$ (2.555)

になる。この $\mbox{\boldmath$T$}$および $\mbox{\boldmath$C$}$を用いると(2.558)式より

$$\hat{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[ \begin{array}{cccc} 1&-1&0... ...[ \begin{array}{c} z_1\\ z_2\\ x_1\\ x_3 \end{array}\right]$$ (2.556)

が得られる。この式より $\hat{x}_1,\hat{x}_3$はそのまま$x_1,x_3$ が用いられ、$\hat{x}_2$および$\hat{x}_4$は

$$\left\{ \begin{array}{l} \hat{x}_2=x_1-z_1\\ \hat{x}_4=3x_3-6z_2 \end{array}\right.$$ (2.557)

より得られる。

$$\mbox{\boldmath$T$}\mbox{\boldmath$B$} = \left[\begin{array}{cccc} 1&-1&0&0\\ 0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6... ...ay}\right]^T= \left[\begin{array}{c} 0\\ -\frac{1}{6} \end{array}\right]\qquad$$ (2.558)

$$\mbox{\boldmath$G$}\mbox{\boldmath$C$} = \left[\begin{array}{cc} 1&-1\\ \frac{1}{6}&1 \end{array}\right] ... ...ht]= \left[\begin{array}{cccc} 1&0&-1&0\\ \frac{1}{6}&0&1&0 \end{array}\right]$$ (2.559)

であるから上記 $\mbox{\boldmath$z$}$は(2.562)式より

$$\dot{\mbox{\boldmath$z$}}= \left[\begin{array}{cc} -3&0\\ ... ...\left[\begin{array}{c} 0\\ -\frac{1}{6} \end{array}\right]u$$ (2.560)

の関係から得られる。(2.569)式、(2.572)式より観測器のブロック図は図2.31のごとくなる。

図 2.31: