• ［例1］直流サーボモータ系
• ［例2］2槽水位系
• ［例3］ブロック線図で表示されている場合
• ［例4］フィードバック系

Physical Variable（物理的変数）

実際的な中間変数を状態変数ととって表示する方法

［例1］直流サーボモータ系

図 2.3: 直流サーボモータ系

図2.3 に示すごとき直流サーボモータ系において、$R$を電機子回 路抵抗、$L$を同インダクタンス、$i$を電機子電流、$K_1$を電機子の逆起電 力定数、$\tau$を同回転トルク、$K_2$をトルク定数、$J$を慣性能率、$B$を 粘性減衰抵抗、$\omega$を回転角速度、$e$を入力電圧とする。そのとき次の 関係がある。

$$\left\{\begin{array}{l} e=Ri+L\frac{di}{dt}+K_1\omega\\ \frac{d\theta}{dt}=\omega\\ \tau=K_2i=J\frac{d\omega}{dt}+B\omega \end{array}\right.$$ (2.2)

いま $x_1=\theta,x_2=\omega,x_3=i$とすれば、上式は

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=-\frac{... ...rac{K_1}{L}x_2-\frac{R}{L}x_3+\frac{1}{L}e \end{array}\right.$$ (2.3)

と表わせる。これは $\theta,\omega,i$を状態変数に、$e$を入力にとった状態 方程式である。

［例2］2槽水位系

図 2.4: 2槽水位系

図2.4 の2槽水位系において$A_1,A_2$を各槽の断面積、$R_1,R_2$ を各弁の流体抵抗、$g_1,g_2,g_3$を各点における水の流量、$h_1,h_2$を各水 槽の水位とする。そのとき次のような関係がある。

$$\left\{ \begin{array}{l} g_1=\frac{1}{R_1}h_1\\ g_2=\frac... ...c{dh_1}{dt}\\ g_3=g_2+A_2\frac{dh_2}{dt} \end{array}\right.$$ (2.4)

いま $x_1=h_1,x_2=h_2$を状態変数にとり、$g_3$を入力とすれば、状態方程式 は次式となる。

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-\frac{1}{A_1R_1}x_1+\fr... ...x}_2=-\frac{1}{A_2R_2}x_2+\frac{1}{A_2}g_3 \end{array}\right.$$ (2.5)

［例3］ブロック線図で表示されている場合

図 2.5: 2槽水位系のブロック線図

前例の場合をブロック線図で示すと 図2.5 の如くなる。 このようにブロック線図で表示されている場合

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(s)=\frac{K_1}{T_1s+1}x_2(s)\\ x_2(s)=\frac{K_2}{T_2s+1}u(s) \end{array}\right.$$ (2.6)

の関係があるので、

$$\left\{ \begin{array}{l} T_1sx_1(s)=-x_1(s)+K_1x_2(s)\\ T_2sx_2(s)=-x_2(s)+K_2u(s) \end{array}\right.$$ (2.7)

より状態方程式は

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=-\frac{1}{T_1}x_1+\frac{... ...ot{x}_2=-\frac{1}{T_2}x_2+\frac{K_2}{T_2}u \end{array}\right.$$ (2.8)

と表示される。

［例4］フィードバック系

図 2.6: フィードバック系

図2.6 の如きフィードバック系の場合

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(s)=\frac{K}{Ts+1}x_2(s)\\ x_2(s)=\frac{1}{s}\{u(s)-x_1(s)\} \end{array}\right.$$ (2.9)

と書けるので状態方程式は

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=-\frac{1}{T}x_1+\frac{K}{T}x_2\\ \dot{x}_2=-x_1+u \end{array}\right.$$ (2.10)

になる。