特異値による感度解析

行列 $\mbox{\boldmath$M$}$の転置行列を $\mbox{\boldmath$M$}^T$、共役行列を $\bar{\mbox{\boldmath$M$}}$としたとき、

$$\mbox{\boldmath$M$}^T = \bar{\mbox{\boldmath$M$}}$$ (2.639)

である行列をエルミット行列という。

また

$$\mbox{\boldmath$M$}^T \cdot \bar{\mbox{\boldmath$M$}} = \mbox{\boldmath$I$}$$ (2.640)

であるとき、 $\mbox{\boldmath$M$}$をユニタリー行列という。

次に別に任意の行列 $\mbox{\boldmath$A$}$に対し、その共役転値行列を $\mbox{\boldmath$A$}^*$としたとき、

$$\mbox{\boldmath$A$}^* = \bar{\mbox{\boldmath$A$}}^T$$ (2.641)

であり、これより

$$(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})^T = (\bar{\mbox{\... ...$A$})} = \overline{(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})}$$ (2.642)

となるから $(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})$はエルミット行列である。

エルミット行列は準正定行列であるから、その固有値は正の実数または０である。

すなわち、 $\mbox{\boldmath$A$}$が$n\times n$の行列で、 $rank \mbox{\boldmath$A$} = r$のとき、 $(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})$の固有値を $\lambda_1 \sim \lambda_n$とすると、

$$\left\{ \begin{array}{l} \lambda_1 \geq\lambda_2\geq\cdots\g... ...a_r>0\\ \lambda_{r+1} = \cdots=\lambda_n=0 \end{array}\right.$$ (2.643)

である。

$\lambda_i$ は正の実数ゆえ

$$\lambda_i = \sigma^2_i$$ (2.644)

とおける。そのとき

$$\mbox{\boldmath$\Sigma$} = \left[ \begin{array}{c\vert c} \... ...ght] ただし \Sigma_1 = diag[\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r]$$ (2.645)

としたとき、 $\mbox{\boldmath$A$}$を

$$\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$U\Sigma$}\mbox{\boldmath$V$}^*$$ (2.646)

で表すことを特異値分解といい、$\sigma_i$を特異値という。

ここで $\mbox{\boldmath$U$},\mbox{\boldmath$V$}^*$はそれぞれ

$$\mbox{\boldmath$U$}^*\mbox{\boldmath$U$} = \mbox{\boldmath$I... ...\mbox{\boldmath$V$}^*\mbox{\boldmath$V$} = \mbox{\boldmath$I$}$$ (2.647)

のユニタリー行列である。（2.661）式より

$$\mbox{\boldmath$A$}^*= \mbox{\boldmath$V\Sigma$}^*\mbox{\boldmath$U$}^*$$ (2.648)

ゆえ

$$\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$V\S... ...dmath$V\Sigma$}^*\mbox{\boldmath$\Sigma$}\mbox{\boldmath$V$}^*$$ (2.649)

になり

$$\mbox{\boldmath$\Sigma$}^*\mbox{\boldmath$\Sigma$}=\mbox{\boldmath$\Lambda$}$$ (2.650)

ただし

$$\mbox{\boldmath$\Lambda$}= \left[ \begin{array}{c\vert c}\L... ...t] \quad\Lambda_1 = diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r]$$ (2.651)

とおくと、（2.665）式を（2.664）式に代入して

$$\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$V\Lambda$}\mbox{\boldmath$V$}^*$$ (2.652)

となる。 $\mbox{\boldmath$V$}^*$が正則のとき

$$\mbox{\boldmath$V$} = (\mbox{\boldmath$V$}^*)^{-1}\mbox{\boldmath$V$}^*\mbox{\boldmath$V$} = (\mbox{\boldmath$V$}^*)^{-1}$$ (2.653)

の関係があるので

$$\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$} = (\mbox{\boldmath$V$}^*)^{-1}\mbox{\boldmath$\Lambda$}\mbox{\boldmath$V$}^*$$ (2.654)

より

$$(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})(\mbox{\boldmath$V... ...)^{-1} = (\mbox{\boldmath$V$}^*)^{-1}\mbox{\boldmath$\Lambda$}$$ (2.655)

となり、この $(\mbox{\boldmath$V$}^*)^{-1}$は対角化行列を、 $\mbox{\boldmath$\Lambda$}$は $(\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$})$ の固有値行列を意味する。したがって特異値$\sigma_i$は

$$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$$ (2.656)

より求めることが出来る。

$\sigma_i$の最大値$\sigma_1$を $\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\}$、最小値$\sigma_r$ を $\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\}$で表し

$$\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} = \sqrt{\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$}の最大固有値}$$

$$\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} = \sqrt{\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$}の最小固有値}$$ (2.657)

で定義する。この特異値には次のような性質を有する。

Ｐ１）

　 $\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} = \vert\vert\mbox{\boldmath$A$}\vert\vert _2$でユークリッド・ベクトル・ノルム から誘導された行列ノルムである。

Ｐ２）

　 $\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} \leq \vert\lambda_i\{\mbox{\boldmath$A$}\}\vert \leq \bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\}$
ただし $\lambda_i\{\mbox{\boldmath$A$}\}$は $\mbox{\boldmath$A$}$の固有値を意味する。

Ｐ３）

$\mbox{\boldmath$A$}$が正方で、 $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$が存在するとき

Ｐ４）

$\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$AB$}\} \leq \bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\}\cdot\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$B$}\}$

Ｐ５）

$\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\}\cdot\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$B$}\} \leq \underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$}\}$

Ｐ６）

$\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}+\Delta\mbox{\boldmath$A$}\} \leq \underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} - \bar{\sigma}\{\Delta \mbox{\boldmath$A$}\}$　

閉ループ系が開ループ系より感度が減少する条件は（2.626）式の還送差を 用いた場合、（2.642）式より

$$[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}'(-j\omega)\mbox{\bol... ...(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)] \ge \mbox{\boldmath$Z$}$$ (2.658)

であるが、 $\mbox{\boldmath$Z$} = \mbox{\boldmath$I$}$のとき

$$[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}'(-j\omega)\mbox{\bol... ...(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)] \ge \mbox{\boldmath$I$}$$ (2.659)

になる。この式で

$$\mbox{\boldmath$A$} = [\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}'(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$ (2.660)

と考えれば

$$\mbox{\boldmath$A$}^*\mbox{\boldmath$A$} \ge \mbox{\boldmath$I$}$$ (2.661)

を意味し、したがってこの十分条件は

$$\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$A$}\} \ge 1$$

すなわち

$$\underline{\sigma}\{\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}'(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)\} \ge 1$$ (2.662)

になる。これが閉ループ系が開ループ系より感度が 減少するための特異値による条件式である。この特異値は周波数$\omega$の関数であり、全周波数範囲にわたってこの条件を満足することは難しいが、実際的に有用な周波数範囲でこの条件を満足すれば十分差仕えない。

いまパラメータ変動を

（Ａ）加法的摂動

$$\mbox{\boldmath$G$}'(j\omega)=\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)+\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)$$ (2.663)

（Ｂ）乗法的摂動

$$\mbox{\boldmath$G$}'(j\omega)=\{\mbox{\boldmath$I$}+\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\}\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)$$ (2.664)

の二種類に分けて考える。

（Ａ）の場合

（2.677）式の左辺に、（2.678）式および特異値の性質Ｐ６，Ｐ４を適用すると

$$\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)+\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\}\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$= \underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omeg... ...h$F$}(j\omega)+\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega) \mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$\geq \underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omeg... ...]-\bar{\sigma} [\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$\geq \underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omeg... ...lta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)]\cdot\bar{\sigma}[\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$ (2.665)

となるから、（2.677）式の十分条件は

$$\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omeg... ...lta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)]\cdot\bar{\sigma}[\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$\geq 1$$ (2.666)

になる。これを書き換えると

$$\bar{\sigma}[\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)]\leq\frac{\u... ...h$F$}(j\omega)]-1}{\bar{\sigma}[\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]}$$ (2.667)

のようになり、感度減少の条件式である。

（Ｂ）の場合

（2.677）式の左辺に（2.679）式および特異値の性質Ｐ５，Ｐ６を適用すると

$$\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$I$}+\Del... ...ldmath$G$}(j\omega)\}\mbox{\boldmath$G$}(j\omega) \mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$= \underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omeg... ...boldmath$G$}(j\omega) \mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$= \underline{\sigma}[\{\mbox{\boldmath$I$}+(\mbox{\boldmath$G$}(j\o... ...ath$G$}(j\omega)\}\{\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)\}]$$

$$\geq \underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$G$}(j\om... ...a)]\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$\geq \{\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$G$}(j\... ...]\}\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

になるから、（2.677）式の十分条件は

$$\{\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$G$}(j\... ...]\}\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]$$

$$\geq 1$$ (2.668)

となる。これを書き換え、特異値の性質Ｐ３を適用すると

$$\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath$G$}(j\om... ...{\underline{\sigma}[\mbox{\boldmath$G$}(j\omega) \mbox{\boldmath$F$}(j\omega)]}$$

$$= \bar{\sigma}[\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)]+\bar{\sigma}[\{\mbox{\boldmath$G$}(j\omega) \mbox{\boldmath$F$}(j\omega)\}^{-1}]$$ (2.669)

になり、さらに

$$\bar{\sigma}[\Delta\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)]\leq\underli... ...box{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)\}^{-1}]$$ (2.670)

となって、（Ｂ）の場合の感度減少の条件式になる。（2.683）、（2.686）式とも左辺は変動分のみであるから、この値が右辺の値以下の範囲において感度減少することを意味してる。しかしながら、両辺の誘導に際して不等式の関係を用いており、十分条件であるため、相当余裕がある。そのためこの条件式は保守的 $(Conser vative)$ であるといわれている。

図 2.37:

図2.37は

$$\mbox{\boldmath$x$} = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & a_{2... ...ox{\boldmath$x$}+ \left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 20 \end{array} \right] u$$

$$y =[0,3,0]\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.671)

	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{22}$	$a_{23}$
ノミナル時	$-0.874$	$-5.554$	$-7.389$	$-0.52$	$-0.054$
変動後	$-1.423$	$-12.391$	$-19.388$	$-0.818$	$-0.09$

に関して（2.686）式の関係（この場合 $F(j\omega)=\mbox{\boldmath$I$}$）を示したもので、 約$2.5rad/s$以下の範囲で条件を満たしていることがわかる。

パラメータ変動が小さいときは（2.638）式で示したように還送差を $[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(s)\mbox{\boldmath$F$}(S)]$とおけるので、感度条件は（2.677）式の代わりに

$$\underline{\sigma} [\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(j\omega)\mbox{\boldmath$F$}(j\omega)] \ge 1$$ (2.672)

として扱うことができる。