• 行列分解表現
• システムの行列分解表現
• ロバスト用補償器の設計

ロバスト定常特性と外乱除去特性

行列分解表現

一般に伝達関数行列などは、分母、分子共にｓの多項式より構成される分数形になっている。 これを分数形でない多項式行列に分解をして表現する方法を行列分解表現という。

与えられた分数形の行列式を $\mbox{\boldmath$G$}(s)$とするとき、

$$\mbox{\boldmath$G$}(s) = \mbox{\boldmath$D$}_l (s)^{-1}\mbox{\boldmath$N$}_l (s)$$ (2.703)

を左既約分解、

$$\mbox{\boldmath$G$}(s) = \mbox{\boldmath$N$}_r(s)\mbox{\boldmath$D$}_r(s)^{-1}$$ (2.704)

を右既約分解という。ここで $\mbox{\boldmath$G$}_l (s)$、 $\mbox{\boldmath$N$}_l(s)$は互いに左素の、 $\mbox{\boldmath$D$}_r(s)$ 、 $\mbox{\boldmath$N$}_r(s)$は互いに右素の多項式行列である。

$\mbox{\boldmath$N$}_l(s) =\mbox{\boldmath$Q$}_l(s)\tilde{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$、 $\mbox{\boldmath$D$}_l(s)=\mbox{\boldmath$Q$}_l(s)\tilde{\mbox{\boldmath$D$}}_i(s)$ というように、 $\mbox{\boldmath$N$}_l(s)$、 $\mbox{\boldmath$D$}_l(s)$の左側の共通因子 $\mbox{\boldmath$Q$}_l(s)$が ユニモジュラ行列（逆行列が存在する行列）に限られるとき左素という。 $\mbox{\boldmath$N$}_r(s)=\tilde{\mbox{\boldmath$N$}}_r(s)\mbox{\boldmath$Q$}_r(s)$、 $\mbox{\boldmath$D$}_r(s)=\tilde{\mbox{\boldmath$D$}}_r(s)\mbox{\boldmath$Q$}_r(s)$ に関して同様の場合右素という。

与えられた$m \times r$の行列 $\mbox{\boldmath$G$}(s)$に対し左既約（$left coprime$）分解を行う 手順は次のとおりである。

${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{1}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$ $\mbox{\boldmath$G$}(s)= \bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l^{-1}(s)\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$
を求める。ただし $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s) = diag[d_1,d_2,\cdots,d_m]$とする。 $d_i$は $\mbox{\boldmath$G$}(s)$の$i$行の要素の分母の最小公倍多項式である。 $\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$ の$i$行は $\mbox{\boldmath$G$}(s)$の$i$行に$d_i$を掛けたものである。

${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{2}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$ 行列 $[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s):\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(S)]$を基本列変換によつて下三角行列 、すなわち $[\mbox{\boldmath$P$}(s):0]$に変換する。 このとき $\mbox{\boldmath$P$}(s)$は$m \times m$の行列であり、 $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)$と $\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$ の左共通因子（ $common left diviser$）になっている。

3 20D

$$\mbox{\boldmath$N$}_l(s)= \mbox{\boldmath$P$}(s)^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$$ (2.705)

$$\mbox{\boldmath$D$}_l(s)= \mbox{\boldmath$P$}(s)^{-1}\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)$$ (2.706)

より $\mbox{\boldmath$N$}_l(s)$、 $\mbox{\boldmath$D$}_l(s)$が求められる。

ただしこの既約分解は唯一ではない。 $\mbox{\boldmath$N$}_l(s)$、 $\mbox{\boldmath$D$}_l(s)$に左から任意の ユニモジュラな行列を掛けたものも既約分解になる。

なお ${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{2}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$における基本列変換により下三角行列への変換は次の方法で求められる。

すなわち

$$[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s):\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s... ...\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{n(m+r)} \end{array}\right]$$ (2.707)

において
（$i$）第一行 $a_{11},a_{12},\cdots,a_{1(m+r)}$のうち０以外でｓの最低次数のもの が$a_{11}$の所に来るように列を変換する。
（$ii$）新たな$a_{11}$に適当なｓの多項式を掛けて、 $a_{12},a_{13},\cdots,a_{1(m+r)}$から引くことにより、 $a_{12},a_{13},\cdots,a_{1(m+r)}$の次数を$a_{11}$の次数 より低くなるようにする。（同次数は不可）
（$iii$） $a_{12},a_{13},\cdots,a_{1(m+r)}$がすべて０となるまで（$i$）（$ii$） を繰り返す。
（$iv$）その後、（2.724）式の一行一列を除いた$a_{22}$を左上端とする小行列について 上記の（$i$）$\sim$（$iii$）を繰り返す。 この場合 $a_{22},a_{23},\cdots,a_{2(m+r)}$を（$i$）の $a_{11},a_{12},\cdots,a_{1(m+r)}$ と想定して行う。
（$v$）（$iv$）が終わったら、$a_{33}$を左上端とする部分について同様のことを行う。 以下同様にして変換を完了する。
「例」

$$\mbox{\boldmath$G$}(s) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{s-1}... ...rac{2}{s}\\ \frac{2s-1}{s^2} & \frac{2}{s} \end{array}\right]$$ (2.708)

の左既約分解を行う。

${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{1}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$　 $\mbox{\boldmath$G$}(s)$の１行目の分母$s^2$と$s$との最小公倍多項式は$s^2$であり、 ２行目も同様にして$s^2$ゆえ

$$\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)= diag[s^2 s^2]$$ (2.709)

とする。

$\mbox{\boldmath$G$}(s)$の１行目に $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)$の１、１要素$s^2$を２行目に $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)$ の２、２要素$s^2$を掛けて $\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)$を求めると

$$\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)= \left[ \begin{array}{cc} s-1 & 2s\\ 2s-1 & 2s \end{array}\right]$$ (2.710)

となる。
${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{2}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$

$$[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s):\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s... ...c} s^2 & 0 & s-1 & 2s\\ 0 & s^2& 2s-1 & 2s \end{array}\right]$$ (2.711)

を基本列変換を行い下三角行列にする。

$\left[ \begin{array}{cccc} s^2 & 0 & s-1 & 2s\\ 0 & s^2& 2s-1 & 2s \end{array} \right]$

$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（１列）と（４列）を交��.. ...begin{array}{cccc} s & 0 & s-1 & s^2\\ s & s^2& 2s-1 & 0 \end{array} \right]$

$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（３列）-（１列）および... ...begin{array}{cccc} s & 0 & -1 & 0 \\ s & s^2& s-1 & -s^2 \end{array} \right]$

$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（１列）と（３列）を交��.. ...begin{array}{cccc} -1 & 0 & s & 0 \\ s-1 & s^2& s & -s^2 \end{array} \right]$

$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（３列）+3\times（１列��.. ...gin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ s-1 & s^2& s^2 & -s^2 \end{array} \right]$

$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（３列）-（２列）、（４... ...] \smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{（１列）\times (-1)}}$

$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1-s & s^2 & 0 & 0 \end{array} \right] = [\mbox{\boldmath$P$}(s):0]$となる。

${\rm\ooalign{\hfill\lower.168ex\hbox{3}\hfill \crcr\mathhexbox20D}}$

$$\mbox{\boldmath$P$}^{-1}(s)= \left[ \begin{array}{cc} 1 &0 \... ...\left[ \begin{array}{cc} s^2 &0 \\ s-1 &1 \end{array} \right]$$ (2.712)

より

$$\mbox{\boldmath$D$}_l(s)=\mbox{\boldmath$P$}^{-1}(s)\bar{\mb... ...\left[ \begin{array}{cc} s^2 &0 \\ s-1 &1 \end{array} \right]$$ (2.713)

$$\mbox{\boldmath$N$}_l(s)=\mbox{\boldmath$P$}^{-1}(s)\bar{\mbox{\b... ...{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} s-1 &2s\\ 2s-1&2s \end{array} \right]$$

$$=\left[ \begin{array}{cc} s-1 &2s \\ 1 &2 \end{array} \right]$$ (2.714)

を得る。ゆえに

$$\mbox{\boldmath$G$}(s)= \left[ \begin{array}{cc} s^2 &0 \\ ... ...} \left[ \begin{array}{cc} s-1 &2s\\ 1 &2 \end{array} \right]$$ (2.715)

のように行列分解された。

右既約分解の場合も類似の方法で行うことができる。

システムの行列分解表現

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$Bu$}$$ (2.716)

$$\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$Cx$}+\mbox{\boldmath$Du$}$$ (2.717)

というシステムは、伝達関数で表示すると

$$\mbox{\boldmath$y$}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$... ...dmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$Bu$}(s)+\mbox{\boldmath$Dv$}(s)$$ (2.718)

と書ける。ただし、 $\mbox{\boldmath$x$}$は$n$次、 $\mbox{\boldmath$y$}$は$m$次、 $\mbox{\boldmath$u$}$は$r$次、 $\mbox{\boldmath$v$}$は$p$ 次とする。

$$[\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}... ...1}_p(s)[\mbox{\boldmath$N$}_1(s)\vert\mbox{\boldmath$N$}_2(s)]$$ (2.719)

のように行列分解をする。入力 $\mbox{\boldmath$u$}(s)$、外乱 $\mbox{\boldmath$v$}(s)$もそれぞれその初期値に 対して

$$\mbox{\boldmath$u$}(s)=\mbox{\boldmath$D$}_u^{-1}(s)\mbox{\boldmath$u$}_0$$ (2.720)

$$\mbox{\boldmath$v$}(s)=\mbox{\boldmath$D$}_v^{-1}(s)\mbox{\boldmath$v$}_0$$ (2.721)

とすると、システムは図2.42の実線で示したように表される。

図 2.42:

ロバスト用補償器の設計

パラメータが変動しても定常特性が変わらずまた外乱除去特性を保持するような制御系 として、図2.42に破線で示すような直結フィードバックと前置補償器 $\mbox{\boldmath$H$}$を 付加する。このとき、 $\mbox{\boldmath$u$}$は$m$次であり、 $\mbox{\boldmath$H$}(s)$は$m \times r$の有理関数 である。図2.42より

$$\mbox{\boldmath$e$}(s)=\mbox{\boldmath$u$}(s)-\mbox{\boldmath$y$}... ...{-1}_p(s)[\mbox{\boldmath$N$}_1(s) \mbox{\boldmath$H$}(s)\mbox{\boldmath$e$}(s)$$

$$+\mbox{\boldmath$N$}_2(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_v(s)\mbox{\boldmath$v$}_0]$$ (2.722)

になり、書き直すと

$$\mbox{\boldmath$e$}(s)=\{\mbox{\boldmath$D$}_p(s)+\mbox{\bol... ...{\boldmath$u$}_0 \\ \mbox{\boldmath$v$}_0 \end{array} \right]$$ (2.723)

となる。上式中の $\mbox{\boldmath$H$}(s)$を適切に選択することにより、内部安定を維持しつつ、 $\lim_{s \to 0}s\mbox{\boldmath$e$}(s)=0\;$ とすることができるならば、漸近追随特性と外乱除去特性が得られることになる。

いま上式中の $\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_u(s)$および $\mbox{\boldmath$N$}_2(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_v(s)$に対 して左既約分解をして

$$\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_u(s)=\bar{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_u(s)\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_p(s)$$ (2.724)

$$\mbox{\boldmath$N$}_2(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_v(s)=\bar{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_v(s)\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_2(s)$$ (2.725)

とした場合、（2.740）式は

$$\mbox{\boldmath$e$}(s)=\{\mbox{\boldmath$D$}_p(s)+\mbox{\bol... ...{\boldmath$u$}_0 \\ \mbox{\boldmath$v$}_0 \end{array} \right]$$ (2.726)

のように書ける。

さらにここで $[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_u(s)\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_p(s)\vert\bar{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_v \bar{\mbox{\boldmath$N$}}_2(s)]$に対して左既約分解をして

$$[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_u(s)\bar{\mbox{\boldmath$D$}}... ...{-1}(s)[\mbox{\boldmath$M$}_1(s)\vert\mbox{\boldmath$M$}_2(s)]$$ (2.727)

とすると、（2.743）式は

$$\mbox{\boldmath$e$}(s)=\{\mbox{\boldmath$D$}_p(s)+\mbox{\bol... ...{\boldmath$u$}_0 \\ \mbox{\boldmath$v$}_0 \end{array} \right]$$ (2.728)

になる。この $\mbox{\boldmath$D$}_{uv}(s)$は $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_u$と $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_v$の左最小公倍行列に なっている。したがって入力と外乱に対して共通の分母行列を持つ形である。

いま $\mbox{\boldmath$H$}(s)$を行列分解して

$$\mbox{\boldmath$H$}(s)=\mbox{\boldmath$N$}_h(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_h(s)$$ (2.729)

とすると、これを（2.745）式に代入して次式を得る。

$$\mbox{\boldmath$e$}(s)=\mbox{\boldmath$D$}_h(s)\{\mbox{\boldmath$... ...ldmath$N$}_1(S)\mbox{\boldmath$N$}_h(s)\}^{-1} \mbox{\boldmath$D$}^{-1}_{uv}(s)$$

$$\times \{\mbox{\boldmath$M$}_1(s)\mbox{\boldmath$u$}_0+\mbox{\boldmath$M$}_2(s)\mbox{\boldmath$v$}_0\}$$ (2.730)

もし閉ループが安定なら $\vert\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}_h(s)+\mbox{\boldmath$N$}_1(s)\mbox{\boldmath$N$}_h(S)\vert$の零点は 負の実部を持つ。

一方 $\vert\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_u\vert$と $\vert\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_v\vert$との最小公倍数を$\psi (s)$とする。 これは $\vert\mbox{\boldmath$D$}_{uv}\vert$とも等しい。また $\mbox{\boldmath$D$}_u$及び $\mbox{\boldmath$D$}_v$はパラメータ変動しないものとし、 そのとき$\psi (s)$も変動しない。

いま

$$\mbox{\boldmath$D$}_h(s)=\mbox{\boldmath$Q$}_h(s)\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_h(s)$$ (2.731)

とし、 $\mbox{\boldmath$D$}_h(s)$が$\psi (s)$で割り切れるように $\mbox{\boldmath$Q$}_h(s)=diag[\psi (s)]$に とる。このとき（2.747）式において、 $\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_{uv}(s)$の分母成分は $\mbox{\boldmath$D$}_h(s)$中の$\psi (s)$と打ち消されるので

$$\lim_{s \to 0}s\mbox{\boldmath$e$}(s)=0$$ (2.732)

となる。

もし $\mbox{\boldmath$D$}_h(s)$（したがって $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_h(s)$）と $\mbox{\boldmath$N$}_h(s)$を $\mbox{\boldmath$D$}_p(s)$ および $\mbox{\boldmath$N$}_1(s)$が変動しても $\vert\mbox{\boldmath$D$}'_p(s)\mbox{\boldmath$D$}_h(s)+\mbox{\boldmath$N$}'_1(s) \mbox{\boldmath$N$}_h(s)\vert$の零点が負の実部を持ち、この行列式が正則を保つように選定するならば 、パラメータが変動しても

$$\lim_{s \to 0}s\mbox{\boldmath$e$}'(s)=\lim_{s \to 0}s\mbox{\bold... ...box{\boldmath$D$}_h(s)+\mbox{\boldmath$N$}'_1(s)\mbox{\boldmath$N$}_h(s)\}^{-1}$$

$$\times \mbox{\boldmath$D$}^{-1}_{uv}(s)\{\mbox{\boldmath$M$}'_1(s)\mbox{\boldmath$u$}_0+\mbox{\boldmath$M$}'_2(s)\mbox{\boldmath$v$}_0\} =0$$ (2.733)

のようになり、漸近追随特性と外乱除去特性を保っており、ロバストである。
「例題」いまプラントを

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[ \begin{array}{cc} 1 &-1 \\... ...y}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \mbox{\boldmath$u$}$$ (2.734)

$$\mbox{\boldmath$y$}= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & ... ...gin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] \mbox{\boldmath$v$}$$ (2.735)

とする。これを伝達関数の形で表示すると

$$\mbox{\boldmath$y$}(s)= \left[ \begin{array}{cc} \frac{s-1}{... ...(s)+ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] v(s)$$ (2.736)

になる。入力 $\mbox{\boldmath$u$}(s)$と外乱$v(s)$をそれぞれ

$$\left.\begin{array}{rcl} \mbox{\boldmath$u$}(s) & = & [\fr... ...]^T \\ v(s) & = & \frac{1}{s^2(s+1)}v_0 \end{array}\right\}$$ (2.737)

とする。このとき

$$[\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}... ...& 1 \\ \frac{2s-1}{s^2} & \frac{2}{s} & 2 \end{array} \right]$$ (2.738)

であるから

$$\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l(s)=diag[s^2 \; s^2]$$ (2.739)

にとると

$$\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l(s)= \left[ \begin{array}{ccc} s-1 & 2s & s^2 \\ 2s-1 & 2s & 2s^2 \end{array} \right]$$ (2.740)

になるので、

$$[\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_l\vert\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_l]= \l... ...cc} s^2 & 0 & s-1 & 2s & s^2 \\ 0 & s^2 & 2s-1 & 2s & 2s^2 \end{array} \right]$$

$$\smash{\mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill}}\limits^{基 本 変... ...n{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-s & s^2 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

$\mbox{\boldmath$P$}(s)= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1-s & s^2 \end{array} \right]$
にとると

$$\mbox{\boldmath$D$}_l(s)= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 ... ...eft[ \begin{array}{cc} s^2 & 0 \\ s-1 & 1 \end{array} \right]$$ (2.741)

$$\mbox{\boldmath$N$}_l(s)= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 ... ...rray}{ccc} s-1 & 2s & s^2 \\ 1 & 2 & s+1 \end{array} \right]$$ (2.742)

が得られるが、これに前からユニモジュラス行列を掛けて $\mbox{\boldmath$D$}_p(s)$、 $\mbox{\boldmath$N$}_p(s)$を求めると

$$\mbox{\boldmath$D$}_p(s)= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 ... ...left[ \begin{array}{cc} s-1 & 1 \\ -s & s \end{array} \right]$$ (2.743)

$$\mbox{\boldmath$N$}_p(s)= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 ... ...in{array}{ccc} 1 & 2 & s+1 \\ 1 & 0 & s \end{array} \right]$$ (2.744)

が得られ、これより

$$\mbox{\boldmath$N$}_1(s)= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 ... ...$}_2(s)= \left[ \begin{array}{c} s+1 \\ s \end{array} \right]$$ (2.745)

　　　 となり、 $\mbox{\boldmath$N$}_1$は定数行列となる。

また（2.764）式より

$$\mbox{\boldmath$D$}_u(s)= \left[ \begin{array}{cc} s & 0 \\ 0 & s \end{array} \right],　　　 \mbox{\boldmath$D$}_v=s^2(s+1)$$ (2.746)

であることがわかる。（2.741）式、（2.742）式に適用して

$$\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_u(s)= \left... ...r{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_u(s)\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_p(s)$$ (2.747)

$$\mbox{\boldmath$N$}_2(s)\mbox{\boldmath$D$}^{-1}_v(s)= \left... ...r{\mbox{\boldmath$D$}}^{-1}_v(s)\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_2(s)$$ (2.748)

より、 $\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_p(s),\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_u(s),\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_v(s),\bar{\mbox{\boldmath$N$}}_2(s)$ を求めると
$\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_p(s)= \left[ \begin{array}{cc} s-1 & 1 \\ -s & 0 \en... ...ldmath$D$}}_u(s)= \left[ \begin{array}{cc} s & 0 \\ -s & 1 \end{array} \right]$
$\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_v(s)= \left[ \begin{array}{cc} s^2 & 0 \\ -s & (s+1)... ...{\mbox{\boldmath$N$}}_2(s)= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$
が得られる。またこれらを用いて（2.744）式より

$$\mbox{\boldmath$D$}_{uv}(s)= \left[ \begin{array}{cc} s^2 & 0 \\ -s & (s+1) \end{array} \right]$$ (2.749)

$$\mbox{\boldmath$M$}_1(s)= \left[ \begin{array}{cc} +s(s-1) &... ...M$}_2(s)= \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right]$$ (2.750)

が得られる。
$\vert\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_v(s)\vert=s^2(s+1),\vert\bar{\mbox{\boldmath$D$}}_u(s)\vert=s$ゆえこの最小公倍数は$s^2(s+1)$ であり、これは $\vert\mbox{\boldmath$D$}_{uv}(s)\vert=s^2(s+1)$とも等しい。したがって

$$\psi (s)=s^2(s+1)$$ (2.751)

$$\mbox{\boldmath$Q$}_h(s)=diag[s^2(s+1), s^2(s+1)]$$ (2.752)

とする。

$\mbox{\boldmath$D$}_h(s)=\mbox{\boldmath$Q$}_h(s)$にとると

$$\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}_h(s)= \left[ \begin{a... ...ght] \left[ \begin{array}{cc} s^2(s+1) & 0 \\ 0 & s^2(s+1) \end{array} \right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} s^4-s^2 & s^3+s^2 \\ -s^4-s^3 & s^4+s^3 \end{array} \right]$$ (2.753)

となる。

もし

$$\mbox{\boldmath$N$}_h(s)= \left[ \begin{array}{cc} \frac{146... ...rac{167}{42} & -\frac{21}{2}s+\frac{21}{2} \end{array} \right]$$ (2.754)

にとると

$$\mbox{\boldmath$N$}_1(s)\mbox{\boldmath$N$}_h(s) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \cdot$$

$$\left[ \begin{array}{cc} \frac{1462}{21}s^2-\frac{3823}{21}s-8 & ... ...rac{3815}{42}s+\frac{167}{42} & -\frac{21}{2}s+\frac{21}{2} \end{array} \right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} 6s^3-\frac{8}{21}s-\frac{1}{21} & 0 \\ \frac{1462}{21}s^2-\frac{3823}{21}s-8 & 21s^2-21 \end{array} \right]$$ (2.755)

になり、これより

$$[\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}_h(s)+\mbox{\boldmath$N$}_1(s)\mbox{\boldmath$N$}_h(s)]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} s^4+6s^3-s^2-\frac{8}{21}s-\frac{1}{21... ...frac{1462}{21}s^2-\frac{3823}{21}s-8 & s^4+s^3+21s^2-21 \\ \end{array} \right]$$ (2.756)

が得られ、上式の行列式は

$$\vert\mbox{\boldmath$D$}_p(s)\mbox{\boldmath$D$}_h(s)+\mbox{\boldmath$N$}_1(s)\mbox{\boldmath$N$}_h(s)\vert=(s+1)^8$$ (2.757)

となって、その根は$-1$という安定根になる。

パラメータが変動しても、この根が安定を保っているならば、 $\mbox{\boldmath$e$}(s)$の最終値は$0$となり、 定常偏差は生じない。

なお、（2.772）式の $\mbox{\boldmath$N$}_h(s)$は先に（2.775）式の ように安定根を与えておいて、これより逆算して求めることができる。