LTR(Loop Transfer Recovery)

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LTR(Loop Transfer Recovery)

ロバスト性

**図 2.43:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-8.eps} \end{center} \end{figure}$

プラントの状態方程式を

$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$Bu$}$
$\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$Cx$}$			(2.758)

（ただし $\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$I$}$ ）とし、伝達関数を

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$G$}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$} \end{displaymath}$

(2.759)

とした場合、図2.43の還送差行列は入力端（図中の

点）で見た場合

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_i(s)=\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$KG$}(s) \end{displaymath}$

(2.760)

出力端（図中の

点）で見た場合

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_o(s)=\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$G$}(s)\mbox{\boldmath$K$} \end{displaymath}$

(2.761)

である。もし $\mbox{\boldmath$K$}$ が最適フィードバック・ゲインであれば

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}_k+\mbox{\boldmath$P... ...ox{\boldmath$P$}_k+\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$QC$}=0 \end{displaymath}$

(2.762)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}_k \end{displaymath}$

(2.763)

であるから、（2.780）式を変形して

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$QC$}=(-s\mbox{\boldmath... ...\boldmath$BR$}^{-1} \mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}_k \end{displaymath}$

(2.764)

とし、これに（2.781）、（2.777）、（2.778）式を適用すると

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$G$}^*(s)\mbox{\boldmath$QG$}(s)=\mbox{\boldmath$T$}^*_i(s)\mbox{\boldmath$RT$}_i(s)-\mbox{\boldmath$R$} \end{displaymath}$

(2.765)

になる。担し＊印は共役転置を意味する。上式の左辺は正定であるから、

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}^*_i(s)\mbox{\boldmath$RT$}_i(s) \geq \mbox{\boldmath$R$} \end{displaymath}$

(2.766)

が成立し、 $\mbox{\boldmath$R$}=\mbox{\boldmath$I$}$ なら

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}^*_i(s)\mbox{\boldmath$T$}_i(s) \geq \mbox{\boldmath$I$} \end{displaymath}$

(2.767)

になって、（2.642）ｼ式と同様低感度特性を示す。（出力端に関しては（2.652）式で低感度性を示した）
以上 $\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$I$}$ の時は、入力端、出力端とも最適制御系は低感度特性を持つ。

オブザーバ併用最適制御の場合

**図 2.44:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-9.eps} \end{center} \end{figure}$

もし $\mbox{\boldmath$C$} \neq \mbox{\boldmath$I$}$ で、全状態変数が検出できないときは、カルマン・フィルタ型またはルーエンバーガー型オブザーバが用いられる。図2.44は前者を用いた場合である。図より

$\begin{displaymath} \dot{\hat{\mbox{\boldmath$x$}}} = \mbox{\boldmath$A$}\hat{\m... ...ox{\boldmath$y$}-\mbox{\boldmath$C$}\hat{\mbox{\boldmath$x$}}) \end{displaymath}$

(2.768)

であり、この $\mbox{\boldmath$F$}$ をオブザーバ・ゲインと称し、最適レギュレータの双対性から

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$AP$}_F+\mbox{\boldmath$P$}_F\cdot\mbox{\bold... ...{\boldmath$CP$}_F+\mbox{\boldmath$BQB$}^T =\mbox{\boldmath$0$} \end{displaymath}$

(2.769)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$}=\mbox{\boldmath$P$}_F\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$R$}^{-1} \end{displaymath}$

(2.770)

より決定する。

この系で、点の入力端、点の出力端で還送差行列を求めると（2.785）式と同様の結果が得られ低感度特性を示すが、これらは制御器内部の点であり余り意味がない。点、点の方が重要であるが、それらの点での還送差行列は

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_{ei}(s)=\{\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\bol... ...^{-1}\mbox{\boldmath$B$}\}^{-1} \cdot\mbox{\boldmath$T$}_i(s) \end{displaymath}$

(2.771)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_{eo}(s)=\mbox{\boldmath$T$}_o(s)\cdot\{\... ...dmath$A$}+\mbox{\boldmath$BK$})^{-1}\mbox{\boldmath$F$}\}^{-1} \end{displaymath}$

(2.772)

のようになり、それぞれ $\mbox{\boldmath$T$}_i(s),\mbox{\boldmath$T$}_o(s)$ に対し付加された部分があるため、その作用で低感度特性が保証されない。その場合の低感度特性を回復させる手法がＬＴＲである。

Doyleらの方法

この方法は、（2.787）式の代わりに

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$AP$}_F+\mbox{\boldmath$P$}_F\cdot\mbox{\bold... ...ath$CP$}_F+\mbox{\boldmath$Q$}_o+q^2 \mbox{\boldmath$BVB$}^T=0 \end{displaymath}$

(2.773)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$}(q)=\mbox{\boldmath$P$}_F(q)\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$R$}^{-1} \end{displaymath}$

(2.774)

を用い、 $q\to\infty$ にすると最適制御の場合と等しく成り低感度特性が回復されるという手法である。

しかし $q\to\infty$ にすると $\mbox{\boldmath$F$}$ のゲインも非常に大きくなり実際的でなくなる。そのためを適当な大きさに取り、有効な周波数範囲で低感度となるようにする。結果的には $\mbox{\boldmath$F$}$ の系統のゲインを、 $\mbox{\boldmath$B$}$ の系統のゲインより相対的に大きくして、後者の影響を小さくする狙いであり、そのため $\mbox{\boldmath$F$}$ の値が大きくなるのである。

出力フィードバックの方法

**図 2.45:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-10.eps} \end{center} \end{figure}$

図2.45のように出力フィードバックの系統を付加する方法である。このとき出力端の還送差行列は

$\displaystyle \mbox{\boldmath$T$}_{ei}(s)=\mbox{\boldmath$I$}+\{\mbox{\boldmath... ...th$C$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}\}^{-1}\{\mbox{\boldmath$H$}+\mbox{\boldmath$K$}$
$\displaystyle \times(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$F... ...\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}$			(2.775)

になる。

いま右辺第２項がロバスト性をもつ $\mbox{\boldmath$C$}_r(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_r)^{-1}\cdot\mbox{\boldmath$B$}_r$ と等しくなるように

$\displaystyle \{\mbox{\boldmath$H$}+\mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\m... ...oldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}=\{\mbox{\boldmath$I$}+$
$\displaystyle \mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbo... ...ath$C$}_r(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_r)^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_r$			(2.776)

とする。もし入出力数が等しいなら

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$L$}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$... ...h$I$}-\mbox{\boldmath$A$}_r)^{-1} \mbox{\boldmath$B$}_r\}^{-1} \end{displaymath}$

(2.777)

と置くと（2.754）式は

$\begin{displaymath} \{\mbox{\boldmath$H$}+\mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmath$I... ...\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$} )^{-1}\mbox{\boldmath$B$}\} \end{displaymath}$

(2.778)

となるので $\mbox{\boldmath$L$}(\infty)\neq 0$ なら上式は $s\to\infty$ で

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$HL$}(\infty)=\mbox{\boldmath$I$} \end{displaymath}$

(2.779)

になり、 $\mbox{\boldmath$H$}$ が計算できる。出力数が入力数より大きいときは類似の方法で $\mbox{\boldmath$H$}$ を定めることができる。

この $\mbox{\boldmath$H$}$ を用いるとロバスト性は得られるが、閉ループ特性が変わってくるので、モデル追随系を用いて望ましい特性を維持させる必要がある。
（）モデルマッチングの方法
前項の方法ではモデル追随系を必要とするため次数が大きくなる。これを避けるのがこの方法である。

**図 2.46:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-11.eps} \end{center} \end{figure}$

図2.46に示すようにＱというループが付加されている。

このときプラントの状態方程式は

$\begin{displaymath} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$Bu$} \end{displaymath}$

(2.780)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$Cx$} \end{displaymath}$

(2.781)

オブザーバの状態方程式は

$\begin{displaymath} \dot{\hat{\mbox{\boldmath$x$}}} = \mbox{\boldmath$A$}\hat{\m... ...ox{\boldmath$y$}-\mbox{\boldmath$C$}\hat{\mbox{\boldmath$x$}}) \end{displaymath}$

(2.782)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$U$}=\mbox{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$K$}\... ...ox{\boldmath$y$}-\mbox{\boldmath$C$}\hat{\mbox{\boldmath$x$}}) \end{displaymath}$

(2.783)

両者をまとめて

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c} \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \\ \dot{\hat{\mbox{\boldmath$x$}}} \end{array} \right]$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[ \begin{array}{cc} \mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$BQC$... ...array}{c} \mbox{\boldmath$x$} \\ \hat{\mbox{\boldmath$x$}} \end{array} \right]$
		$\displaystyle + \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$B$} \\ \mbox{\boldmath$B$} \end{array} \right] \cdot\mbox{\boldmath$r$}$
	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle \bar{\mbox{\boldmath$A$}} \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath... ...boldmath$x$}} \end{array} \right] +\bar{\mbox{\boldmath$B$}}\mbox{\boldmath$r$}$	(2.784)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$Cx$}$	(2.785)

ここで $\mbox{\boldmath$z$}=\hat{\mbox{\boldmath$x$}}-\mbox{\boldmath$x$}$ とおき

$\begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$x$} \\ \mbox{\boldm... ...boldmath$x$} \\ \hat{\mbox{\boldmath$x$}} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.786)

とすると

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c} \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \\ \dot{\mbox{... ...dmath$I$} \end{array} \right] \cdot\bar{\mbox{\boldmath$B$}}\mbox{\boldmath$r$}$
$\displaystyle = \left[ \begin{array}{cc} \mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$BK... ...dmath$B$} \\ \mbox{\boldmath$0$} \end{array} \right] \cdot \mbox{\boldmath$r$}$			(2.787)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$y$}=[\mbox{\boldmath$C$},\mbox{\boldmath$0$}... ...mbox{\boldmath$x$} \\ \mbox{\boldmath$z$} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.788)

になり、 $\mbox{\boldmath$r$}$ から $\mbox{\boldmath$y$}$ までの伝達関数は

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$G$}_{ry}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\bold... ...ox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$BK$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$} \end{displaymath}$

(2.789)

となって、 $\mbox{\boldmath$Q$}$ の影響はない。

しかし還送差行列に関しては

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_{ei}(s)=\{\mbox{\boldmath$I$}+(\mbox{\bo... ...h$FC$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}\}^{-1}\mbox{\boldmath$T$}_i(s) \end{displaymath}$

(2.790)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$T$}_{eo}(s)=\mbox{\boldmath$T$}_o(s)\{\mbox{... ...th$BK$})^{-1}(\mbox{\boldmath$F$}-\mbox{\boldmath$BQ$})\}^{-1} \end{displaymath}$

(2.791)

になり、もし $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$QC$}$ または $\mbox{\boldmath$F$}=\mbox{\boldmath$BQ$}$ となるような $\mbox{\boldmath$Q$}$ が見出せれば、入力端または出力端でのロバスト性が得られる。

このような $\mbox{\boldmath$Q$}$ を定数で求めることは一般には困難であり（ $\mbox{\boldmath$K$}-\mbox{\boldmath$QC$}$ ）または（ $\mbox{\boldmath$F$}-\mbox{\boldmath$BQ$}$ ）が最小となるように選ぶ。もし $\mbox{\boldmath$Q$}$ を $\mbox{\boldmath$Q$}(s)$ のようにの関数とし、入力と出力が同次数のとき

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$Q$}(s)=\{\mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmat... ...math$A$}+\mbox{\boldmath$FC$})^{-1} \mbox{\boldmath$B$}\}^{-1} \end{displaymath}$

(2.792)

とすると、（2.818）式で

$\displaystyle (\mbox{\boldmath$K$}-\mbox{\boldmath$QC$})(s\mbox{\boldmath$I$}-\... ...oldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$})^{-1} \mbox{\boldmath$B$}-$
$\displaystyle \mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbo... ...h$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$})^{-1} \mbox{\boldmath$B$}\}^{-1}$
$\displaystyle \times\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$... ...boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}-$
$\displaystyle \mbox{\boldmath$K$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}=0$			(2.793)

になるから $\mbox{\boldmath$T$}_{ei}(s)=\mbox{\boldmath$T$}_i(s)$ となる。

出力端の場合は

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$Q$}(s)=\{\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmat... ...ox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$BK$})^{-1}\mbox{\boldmath$F$} \end{displaymath}$

(2.794)

にとれば $\mbox{\boldmath$T$}_{eo}(s)=\mbox{\boldmath$T$}_o(s)$ となる。

入力数 $\leq$ 出力数のときはこの関係は求められる。ただし最小位相系でないと不安定極を持つことになる。またこの方法は次数が増大する欠点がある。
（） $\mbox{\boldmath$H$}_{\infty}$ （または $\mbox{\boldmath$H$}^{\infty}$ ）制御

通常のユークリッド・ノルムは $\mbox{\boldmath$h$}(s)$ を安定で、真に（厳密）プロパな有理関数としたとき

$\displaystyle \vert\vert\mbox{\boldmath$h$}\vert\vert _2$	$\textstyle =$	$\displaystyle \{(\frac{1}{2\pi})\cdot\int^{\infty}_{-\infty}\vert\mbox{\boldmath$h$}(j\omega)\vert^2d\omega\}^{\frac{1}{2}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \{(\frac{1}{2\pi})\cdot\int^{\infty}_{-\infty}\mbox{\boldmath$h$}^*(j\omega)\mbox{\boldmath$h$}(j\omega)d\omega\}^{\frac{1}{2}}$	(2.795)

で定義される。行列の場合には

$\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath$H$}\vert\vert _2=\{(\frac{1}{2\pi}... ...^*(j\omega)\mbox{\boldmath$H$}(j\omega)d\omega\}^{\frac{1}{2}} \end{displaymath}$

(2.796)

で表示される。ここに＊印は共役転置を意味する。

（2.813）式を一般的に表示すると

$\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath$h$}\vert\vert _p=\{(\frac{1}{2\pi}... ...box{\boldmath$h$}(j\omega)\vert^p\cdot d\omega\}^{\frac{1}{p}} \end{displaymath}$

(2.797)

になるが、 $p\to\infty$ にすると

$\displaystyle \vert\vert\mbox{\boldmath$h$}\vert\vert _{\infty}=\{(\frac{1}{2\p... ...ert\mbox{\boldmath$h$}(j\omega)\vert^{\infty}\cdot d\omega\}^{\frac{1}{\infty}}$
$\displaystyle \rightarrow max_\omega \vert\mbox{\boldmath$h$}(j\omega)\vert$			(2.798)

になる。これはある $\omega$ で $\mbox{\boldmath$h$}(j\omega)$ が最大になり、その所が強調される形になるからで、ワースト・ケースを意味する。 $\vert\vert\mbox{\boldmath$h$}\vert\vert _{\infty}$ の場合は、 $\mbox{\boldmath$h$}(s)$ は安定でプロパな有理関数である。

行列の場合には次式となる。

$\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath$H$}\vert\vert _{\infty}=\max_\omeg... ...\} \to \sup_\omega\bar{\sigma}\{\mbox{\boldmath$H$}(j\omega)\} \end{displaymath}$

(2.799)

$\vert\vert\mbox{\boldmath$H$}\vert\vert _{\infty}$ と $\vert\vert\mbox{\boldmath$H$}\vert\vert _2$ との間には

$\begin{displaymath} \Vert\vert\mbox{\boldmath$H$}\vert\vert _{\infty}=\sup\{\ver... ...rt\vert _2:\vert\vert\mbox{\boldmath$f$}\vert\vert _2 \leq 1\} \end{displaymath}$

(2.800)

の関係がある。 $\mbox{\boldmath$f$}$ は $\mbox{\boldmath$H$}$ の列の数と一致する $\mbox{\boldmath$H$}_2$ のベクトルである。

$\mbox{\boldmath$H$}_{\infty}$ 制御では制御系を次のように表示する。

$\begin{displaymath} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldma... ..._1\mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath$B$}_2\mbox{\boldmath$u$} \end{displaymath}$

(2.801)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$C$}_1\mbox{\boldmath$x$}... ...mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$u$} \end{displaymath}$

(2.802)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$C$}_2\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$D$}_{21}\mbox{\boldmath$w$} \end{displaymath}$

(2.803)

ここで $\mbox{\boldmath$w$}$ は外部入力、 $\mbox{\boldmath$u$}$ は操作入力、 $\mbox{\boldmath$z$}$ は制御量（または誤差量）、 $\mbox{\boldmath$y$}$ は観測出力である。これを伝達関数で表現すると

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$Z$}=\{\mbox{\boldmath$D$}_{11}+\mbox{\boldma... ...{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}_2\}\mbox{\boldmath$u$} \end{displaymath}$

(2.804)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$y$}=\{\mbox{\boldmath$D$}_{21}+\mbox{\boldma... ...x{\boldmath$A$}^{-1} \mbox{\boldmath$B$}_2)\mbox{\boldmath$u$} \end{displaymath}$

(2.805)

これを一般的に書くと

$\begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$z$} \\ \mbox{\boldm... ...mbox{\boldmath$w$} \\ \mbox{\boldmath$u$} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.806)

ここで

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$P$}_{ij}=\mbox{\boldmath$D$}_{ij}+\mbox{\bol... ...box{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$} \end{displaymath}$

(2.807)

である。制御器は

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$u$}=\mbox{\boldmath$Ky$} \end{displaymath}$

(2.808)

で表され、ブロック図は図2.47の形となる。

**図 2.47:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-12.eps} \end{center} \end{figure}$

$\mbox{\boldmath$w$}$ から $\mbox{\boldmath$z$}$ までの伝達関数は

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$G$}_{wz}=\mbox{\boldmath$P$}_{11}+\mbox{\bol... ...math$P$}_{22}\mbox{\boldmath$K$})^{-1}\mbox{\boldmath$P$}_{21} \end{displaymath}$

(2.809)

である。なぜなら（2.824）式より
$\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$P$}_{21}\mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath$P$}_{22}\mbox{\boldmath$K$}\mbox{\boldmath$y$}$ $\mbox{\boldmath$y$}=(\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$P$}_{22}\mbox{\boldmath$K$})^{-1}\mbox{\boldmath$P$}_{21}\mbox{\boldmath$w$}$ $\mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$P$}_{11}\mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath... ...$P$}_{22}\mbox{\boldmath$K$})^{-1}\mbox{\boldmath$P$}_{21}\}\mbox{\boldmath$w$}$ であるから。 $\mbox{\boldmath$H$}_{\infty}$ 制御は閉ループ系が内部安定で、かつ

$\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath$G$}_{wz}\vert\vert _{\infty} < \gamma \mbox{　　　　　}\gamma \mbox{は正の数} \end{displaymath}$

(2.810)

となるような $\mbox{\boldmath$K$}$ を見出すことである。

いま図2.46の場合を $\mbox{\boldmath$P$}$ を使ってブロック図にすると図2.48 のようになる

**図 2.48:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-13.eps} \end{center} \end{figure}$

図より

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$u$}=\mbox{\boldmath$K$}\hat{\mbox{\boldmath$x$}}+\mbox{\boldmath$v$} \end{displaymath}$

(2.811)

$\begin{displaymath} \dot{\hat{\mbox{\boldmath$x$}}}=\mbox{\boldmath$A$}\hat{\mbo... ...{\boldmath$y$}-\mbox{\boldmath$C$}_2\hat{\mbox{\boldmath$x$}}) \end{displaymath}$

(2.812)

いま

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$A$}_K=\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$B$}_2\mbox{\boldmath$K$} \end{displaymath}$

(2.813)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$A$}_F=\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$}_2 \end{displaymath}$

(2.814)

とおき、それぞれ安定であるとする。また

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$\varepsilon$}=\mbox{\boldmath$y$}-\mbox{\boldmath$C$}_2\cdot\hat{\mbox{\boldmath$x$}} \end{displaymath}$

(2.815)

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$e$}=\mbox{\boldmath$x$}-\hat{\mbox{\boldmath$x$}} \end{displaymath}$

(2.816)

とおく。（2.819）、（2.830）、（2.831）、（2.834）式より

$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$B$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w... ...$}\cdot\hat{\mbox{\boldmath$x$}}+\mbox{\boldmath$B$}_2\cdot \mbox{\boldmath$v$}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$B$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w... ...ath$K$}\cdot \mbox{\boldmath$e$}+\mbox{\boldmath$B$}_2\cdot \mbox{\boldmath$v$}$
	$\textstyle =$		(2.817)
$\displaystyle V{A}_K\cdot \mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$B$}_2\mbox{\boldm... ...h$B$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath$B$}_2\cdot \mbox{\boldmath$v$}$			(2.818)

また（2.819）、（2.830）、（2.832）、（2.834）式より

$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$e$}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$x$}}-\dot{\hat{\mbox{\boldmath$x$}}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$B$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w... ...$u$}+\mbox{\boldmath$Fy$}-\mbox{\boldmath$FC$}_2 \cdot\hat{\mbox{\boldmath$x$}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$B$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w... ...th$C$}_2\cdot \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$D$}_{21} \mbox{\boldmath$w$})$
		$\displaystyle -\mbox{\boldmath$FC$}_2\cdot \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$FC$}_2\cdot \mbox{\boldmath$e$}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle (\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$FC$}_2)\mbox{\boldmath$e$}+(\mbox{\boldmath$B$}_1+\mbox{\boldmath$FD$}_{21})\mbox{\boldmath$w$}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$A$}_F\cdot\mbox{\boldmath$e$}+(\mbox{\boldmath$B$}_1+\mbox{\boldmath$FD$}_{21})\mbox{\boldmath$w$}$

すなわち

$\begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} \dot{\mbox{\boldmath$x$}} \\ \dot{\... ...mbox{\boldmath$w$} \\ \mbox{\boldmath$v$} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.819)

になり、また（2.820）式は（2.830）、（2.834）式より

$\displaystyle \mbox{\boldmath$z$}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$C$}_1\cdot \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$D$... ...ldmath$K$}\hat{\mbox{\boldmath$x$}}+\mbox{\boldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$v$}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \mbox{\boldmath$C$}_1\cdot \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$D$... ...ldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$Ke$}+\mbox{\boldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$v$}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle (\mbox{\boldmath$C$}_1+\mbox{\boldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$K$... ...oldmath$D$}_{11}\mbox{\boldmath$w$}+\mbox{\boldmath$D$}_{12}\mbox{\boldmath$v$}$	(2.820)

また（2.833）式は（2.821）式を用い

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$\varepsilon$}=\mbox{\boldmath$y$}-\mbox{\bol... ...x{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$C$}_2\cdot \mbox{\boldmath$e$} \end{displaymath}$

(2.821)

から

$\begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$z$} \\ \mbox{\boldm... ...mbox{\boldmath$w$} \\ \mbox{\boldmath$v$} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.822)

（2.838）式から $\mbox{\boldmath$w$},\mbox{\boldmath$v$}$ に対する $\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$e$}$ の伝達関数を求め、それを（2.841）式に代入すると

$\begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} \mbox{\boldmath$z$} \\ \mbox{\boldm... ...mbox{\boldmath$w$} \\ \mbox{\boldmath$v$} \end{array} \right] \end{displaymath}$

(2.823)

のような伝達関数行列となる。図2.49の左側のようなブロック図を考えた場合、

**図 2.49:**
$\begin{figure}\begin{center} \psbox[scale=0.60]{eps/2-11-14.eps} \end{center} \end{figure}$

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$v$}=\mbox{\boldmath$Q$}(s)\mbox{\boldmath$\varepsilon$} \end{displaymath}$

(2.824)

であるから、これを（2.842）式に適用すると

$\displaystyle \mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$T$}_1\cdot \mbox{\boldmath$w$... ...T$}_2\cdot \mbox{\boldmath$Q$}(s)\cdot \mbox{\boldmath$T$}_3\mbox{\boldmath$w$}$
$\displaystyle = (\mbox{\boldmath$T$}_1-\mbox{\boldmath$T$}_2\cdot \mbox{\boldmath$Q$}(s)\cdot \mbox{\boldmath$T$}_3)\mbox{\boldmath$w$}$			(2.825)

となり同図右側の図と等価になる。

ゆえに

$\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath$T$}_1-\mbox{\boldmath$T$}_2\cdot ... ...Q$}(s)\cdot \mbox{\boldmath$T$}_3\vert\vert _{\infty} < \gamma \end{displaymath}$

(2.826)

（すなわち　 $\displaystyle{\max_{\mbox{\boldmath$\omega$}}}\bar{\mbox{\boldmath$\sigma$}}\{\... ...h$T$}_2\cdot \mbox{\boldmath$Q$}(\omega) \cdot \mbox{\boldmath$T$}_3\} < \gamma$ ）

となるような $\mbox{\boldmath$Q$}(s)$ を求めるのが $\mbox{\boldmath$H$}_{\infty}$ によるＬＴＲである。

（2.812）式の前半部分 $\{\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$BK$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}\}^{-1}$ が安定であるためには｛　｝内の零点が最小位相系である必要がある。もし非最小位相系である場合は非最小位相部分と最小位相部分とに分けて

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}... ...h$B$}=\{\mbox{\boldmath$G$}_i(s)\}\{\mbox{\boldmath$G$}_o(s)\} \end{displaymath}$