• ［例1］回転物体系
• ［例2］零点を持つ場合

Phase Variable（相変数）

中間変数を前の変数の微分値にとる場合で、同伴形式あるいは可制御標準形 ともいう。

［例1］回転物体系

回転物体系の場合、回転角加速度$\dot{\omega}$は回転角速度$\omega$の 微分値、回転角速度 $\omega=\dot{\theta}$は回転角$\theta$の微分値の 関係がある。このような場合、例えば全体の伝達関数が次の3次形

$$G(s)=\frac{\theta(s)}{u(s)}=\frac{K}{s^3+a_3s^2+a_2s+a_1}$$ (2.11)

で与えられたとき

$$\stackrel{\cdots}{\theta}+a_3\ddot{\theta}(t)+a_2\dot{\theta}(t) +a_1\theta(t)=Ku(t)$$ (2.12)

と書き、状態変数を $x_1=\theta,x_2=\omega=\dot{\theta},x_3=\dot{\omega} =\ddot{\theta}$にとると、 $\dot{x}_1=x_2,\dot{x}_2=x_3$となるのでこれを （2.12）式に代入すると

$$\dot{x}_3+a_3x_3+a_2x_2+a_1x_1=Ku$$ (2.13)

となる。したがって状態方程式は次式となる。

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=x_3\\ \dot{x}_3=-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3+Ku \end{array}\right.$$ (2.14)

［例2］零点を持つ場合

伝達関数が

$$G(s)=\frac{K(c_2s+c_1)}{s^3+a_3s^2+a_2s+a_1}=\frac{y(s)}{u(s)}$$ (2.15)

のように零点を持つ場合は

$$G(s)=\frac{x_1(s)}{u(s)}\cdot\frac{y(s)}{x_1(s)}$$ (2.16)

のように二つに分け

$$\frac{x_1(s)}{u(s)}=\frac{K}{s^3+a_3s^2+a_2s+a_1}$$ (2.17)

$$\frac{y(s)}{x_1(s)}=c_2s+c_1$$ (2.18)

として、これより状態方程式は次式で表示される。

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2\\ \dot{x}_2=x_3\\ \dot{x}_3=-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3+Ku \end{array}\right.$$ (2.19)

$$y=c_1x_1+c_2x_2$$ (2.20)

このとき（2.20）式を出力方程式という。