ナイキストの安定判別法

(3.55)式の特性方程式に

$$Z=e^{j\omega T}=\cos \omega T+j\sin \omega T$$ (3.65)

を代入し、周波数領域とした場合

$$1+[GH]^{*}(\omega)=0$$ (3.66)

となる。$\omega$を$-\infty$から$+\infty$迄変えると、図3.19 (a) の$S$面で虚軸上をたどることになり、これは同図(b) の$Z$面では単位円上をた どることに該当する。ただし $\omega=\frac{2\pi}{T}$ごとに単位円上を一周す る。$Z$面の単位円外から$S$面の右半平面に相当する。したがってこの中に特性 根が存在しなければ安定である。

$$[GH]^{*}(\omega)=-1$$ (3.67)

であるから、パルス一巡伝達関数のベクトル軌跡を描いたとき$-1+j0$の点を不 安定領域の中に囲まれなければ安定であるといえる。

図 3.19:

$\omega =0\sim \frac{\pi}{T}$と $\omega =\frac{\pi}{T} \sim \frac{2\pi}{T}$とは実軸に対して 鏡像となるので、ナイキストの安定判別法は次のごとくなる。

「$\omega$を $0\sim \frac{\pi}{T}$変化させたとき パルス一巡伝達関数 $[GH]^{*}(\omega)$のベクトル軌跡が、 $-1+j0$の点を左側に見れば、安定であり、右側にみれば 不安である。」

[例]図3.20の制御系の安定判別を行う。

図 3.20:

パルス一巡伝達関数は

$$GH(Z)=\frac{Z^{-1}(0.264Z^{-1}+0.368)} {(1-Z^{-1})(1-0.368Z^{-1})}$$

となる。上式に(3.65)式を代入すると

$$\begin{eqnarray*}[GH]^{*}(\omega) & = & \frac{\displaystyle 0.368 (\cos \omega ... ... T+0.368) +j(2\cos \omega T\sin \omega T -1.368\sin \omega T)} \end{eqnarray*}$$

となる。この式の分母を実数化して、ベクトル軌跡を描いたのが 図3.21であり、$-1+j0$の点を左側に 見るので安定である。

図 3.21:

なおベクトル軌跡と同様にボード線図によっても 安定判別を行うことができる。