高周波に対する安定の確認

前記のごとく$Z$変換によって安定判別を行った場合、それは各サンプリング時 点において安定であることを意味しているのであって、サンプリング時点間に不 安定現象が発生していることもありえる。

図 3.22:

たとえば、図3.22に示すごとく、実際は振動しながら発散しているの に、サンプル値としては一定値として検出される場合がある。

このような場合には拡張$Z$変換を用いてサンプリング時点間の現象を確認する 必要がある。

[例] $$G(s)=\frac{1}{s+\gamma}+ \frac{\pi /T}{s^{2}+2\alpha s+\alpha^{2}+\pi^{2}/T^{2}}$$ の場合、通常の$Z$変換を行うと

$$\begin{eqnarray*} G(Z) & = & \frac{\displaystyle Z}{\displaystyle Z-d_{1}} +\f... ...\ & & \mbox{　ただし }d_{1}=e^{-\gamma T}, d_{2}=e^{-\alpha T} \end{eqnarray*}$$

となり、 $\vert\alpha_{1}\vert<1$なら安定と考えられる。

ここで拡張$Z$変換を用いてサンプリング時点間について 確かめてみる。そこで $$\Delta=\frac{1}{2}$$とすると

$$\begin{eqnarray*} G(Z,\Delta) & = & \frac{\displaystyle d_{1}^{\Delta}} {\disp... ...1}}+ \frac{\displaystyle \sqrt{d_{2}}} {\displaystyle Z+d_{2}} \end{eqnarray*}$$

となるので、$\vert d_{1}\vert<1$および$\vert d_{2}\vert<1$でなければ 安定ではない。

このように、高周波に対する安定を確認するために 拡張$Z$変換を用いることが必要な場合がある。