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連続制御系で近似する方法

連続信号としての補償を行う場合、ホールド回路が 零次ホールドであれば
\begin{displaymath}
H(s)=\frac{1-e^{-sT}}{s}
\end{displaymath} (3.72)

で表されるから、周波数伝達関数は
\begin{displaymath}
H(j\omega)=Te^{-\frac{j\omega T}{2}}
\frac{\displaystyle \s...
...displaystyle
\frac{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}}
\end{displaymath} (3.73)

と書き直される。

いま制御対象の伝達関数が$G(s)$のとき、ホールド回路と制御対象と 結合したパルス周波数伝達関数は(3.9)式より

$\displaystyle [HG]^{*}(j\omega)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle T}
\displaystyle \sum_{n=-\i...
...style (\omega +n\omega_{0})}
{\displaystyle 2}T}
\cdot
G(j\omega +jn\omega_{0})$ (3.74)
    $\displaystyle \mbox{ ただし} \omega_{0}= \frac{2\pi}{T}$  

となる。通常$G(s)$は低周波ろ波特性を有しているので、 $T$が十分小さいときは$\omega_{0}$成分は無視できる。 したがって、上式は近似的に
\begin{displaymath}[HG]^{*}(j\omega) =\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1...
...c{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}}
\cdot
G(j\omega)
\end{displaymath} (3.75)

となり、更に $\frac{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}$ の小さい所では
\begin{displaymath}[HG]^{*}(j\omega)=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1e...
...ex}{.}\hspace{.3em}e^{-j\frac{\omega T}{2}}
\cdot
G(j\omega)
\end{displaymath} (3.76)

として扱うことができる。すなわち、図3.24(a)のブロック ダイヤグラムは図3.25のような連続系と等価 として扱うことができ、これは図3.26の 点線で示すものに近似して扱うことを意味している。
図 3.25:
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.60]{eps/3-8-2.eps} \end{center} \end{figure}
図 3.26:
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.60]{eps/3-8-3.eps} \end{center} \end{figure}

したがって、次のような手順で設計を行う。

#1.
サンプル及びホールド動作を連続系で近似する。
#2.
連続系としての系の設計を行う。
#3.
$Z$変換解析法で、設計された系の正確な解析を行い、必要があ れば設計を繰り返す。
[例] $G(s)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s(s+1)},T=1$ の場合の設計を行う。 連続系で近似すると、

\begin{displaymath}[HG]^{*}(j\omega)=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1e...
...-\frac{j\omega}{2}}
\left(\frac{1}{j\omega(1+j\omega)}\right)
\end{displaymath}

となる。このボード線図を描くと図3.27(a) となり、位相余裕は$17^{\circ}$しかない。そこで、

\begin{displaymath}
N(s)=0.3\frac{S+0.2}{S+0.06}
\end{displaymath}

の補償要素を加えると、図3.27(b) となり位相余裕は$47^{\circ}$に改善される。
図 3.27:
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.60]{eps/3-8-4.eps} \end{center} \end{figure}


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Yasunari SHIDAMA
平成15年6月9日