連続制御系で近似する方法

連続信号としての補償を行う場合、ホールド回路が 零次ホールドであれば

$$H(s)=\frac{1-e^{-sT}}{s}$$ (3.72)

で表されるから、周波数伝達関数は

$$H(j\omega)=Te^{-\frac{j\omega T}{2}} \frac{\displaystyle \s... ...displaystyle \frac{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}}$$ (3.73)

と書き直される。

いま制御対象の伝達関数が$G(s)$のとき、ホールド回路と制御対象と 結合したパルス周波数伝達関数は(3.9)式より

$$[HG]^{*}(j\omega) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle T} \displaystyle \sum_{n=-\i... ...style (\omega +n\omega_{0})} {\displaystyle 2}T} \cdot G(j\omega +jn\omega_{0})$$ (3.74)

$$\mbox{ ただし} \omega_{0}= \frac{2\pi}{T}$$

となる。通常$G(s)$は低周波ろ波特性を有しているので、 $T$が十分小さいときは$\omega_{0}$成分は無視できる。 したがって、上式は近似的に

$$[HG]^{*}(j\omega) =\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1... ...c{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}} \cdot G(j\omega)$$ (3.75)

となり、更に $\frac{\displaystyle \omega T}{\displaystyle 2}$ の小さい所では

$$[HG]^{*}(j\omega)=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1e... ...ex}{.}\hspace{.3em}e^{-j\frac{\omega T}{2}} \cdot G(j\omega)$$ (3.76)

として扱うことができる。すなわち、図3.24(a)のブロック ダイヤグラムは図3.25のような連続系と等価 として扱うことができ、これは図3.26の 点線で示すものに近似して扱うことを意味している。

図 3.25:

図 3.26:

したがって、次のような手順で設計を行う。

#1.

サンプル及びホールド動作を連続系で近似する。

#2.

連続系としての系の設計を行う。

#3.

$Z$変換解析法で、設計された系の正確な解析を行い、必要があ れば設計を繰り返す。

[例] $G(s)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s(s+1)},T=1$ の場合の設計を行う。 連続系で近似すると、

$$[HG]^{*}(j\omega)=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1e... ...-\frac{j\omega}{2}} \left(\frac{1}{j\omega(1+j\omega)}\right)$$

となる。このボード線図を描くと図3.27(a) となり、位相余裕は$17^{\circ}$しかない。そこで、

$$N(s)=0.3\frac{S+0.2}{S+0.06}$$

の補償要素を加えると、図3.27(b) となり位相余裕は$47^{\circ}$に改善される。

図 3.27: