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有限時間整定法

いま図4.20に示すような制御系において有限時間で目標値に整定する 問題を考える。
図 4.20:
\begin{figure}\begin{center}
\psbox[scale=0.60]{eps/4-6-2.eps} \end{center} \end{figure}

プラントのシステム方程式は連続系として

$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$Fx$}(t) + \mbox{\boldmath$Gv$}(t)$ (4.218)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$Cx$}(t)$ (4.219)

で与えられたとする。これをホールド回路を介した場合の離散値系の方程式としたとき
$\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}(k+1)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$Ax$}(k)
+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$ (4.220)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}(k)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$Cx$}(k)$ (4.221)

となったとする。このとき各サンプリング時点における状態変数 $\mbox{\boldmath$x$}(k)$ および出力 $\mbox{\boldmath$y$}(k)$は(4.101)式より
$\displaystyle \mbox{\boldmath$x$}(k)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$A$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$Bu$}(n)$ (4.222)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$y$}(k)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$A$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$Bu$}(n)$ (4.223)

となる。

いま $\mbox{\boldmath$r$}_0$という任意のステップ入力が入った場合、 $\mbox{\boldmath$e$}$が有限のサンプリング周期で 0となり、以後その状態が継続されるようにしたい。そこでまず$N$サンプリング で $\mbox{\boldmath$e$}$$0$となるように

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$r$}_0 = \sum_{n=0}^{N-1}\mbox{\boldmath$CA$}^{N-1-n}\mbox{\boldmath$Bu$}(n)
\end{displaymath} (4.224)

とおく。この式はマトリクスで表示すると次式となる。
\begin{displaymath}[\mbox{\boldmath$CA$}^{N-1}\mbox{\boldmath$B$}\vert\mbox{\bol...
...oldmath$u$}(N-1)
\end{array} \right] =
\mbox{\boldmath$r$}_0
\end{displaymath} (4.225)

$N$サンプリング後その状態が継続されるためには、 $\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(NT)=0$ でなければならない。 $NT \leq t \leq (N+1)T$の間 $\mbox{\boldmath$v$}(t)$は一定値であり、 かつそれ以後も一定値として
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$v$}(t) = \mbox{\boldmath$v$}(NT) = \mbox{\boldmath$u$}(NT)\ \ \ (t \geq NT \mbox{に対し})
\end{displaymath} (4.226)

とおくことができる。 (4.219)式より$t=NT$のとき
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(NT) = \mbox{\boldmath$Fx$}(NT) + \mbox{\boldmath$Gu$}(NT)
\end{displaymath} (4.227)

と書け、 $\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(NT)=0$とし、 $\mbox{\boldmath$x$}(NT)$に(4.223)式を代入すると
\begin{displaymath}
0 = \left[ \sum_{n=0}^{N-1}\mbox{\boldmath$FA$}^{N-1-n}\mbox{\boldmath$Bu$}(n)\right] + \mbox{\boldmath$Gu$}(N)
\end{displaymath} (4.228)

となる。これをマトリクス形とすると
\begin{displaymath}[ \mbox{\boldmath$FA$}^{N-1}\mbox{\boldmath$B$}\vert\mbox{\bo...
...\vdots \\
\mbox{\boldmath$u$}(N)
\end{array} \right] = [0]
\end{displaymath} (4.229)

と書ける。(4.226)式と(4.230)式をまとめて書くと
\begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c}
\mbox{...
...n{array}{c}
\mbox{\boldmath$r$}_0 \\
0
\end{array} \right]
\end{displaymath} (4.230)

となる。この式の左辺の逆行列が得られるならば、 $ u(0),u(1),\cdots,u(N) $ の入力が求められる。これを
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$u$}(n) = \mbox{\boldmath$P$}(n)\mbox{\boldmath$r$}_0
\end{displaymath} (4.231)

とする。この $\mbox{\boldmath$u$}(n)$を図4.20に示すような閉回路において、制御 要素 $\mbox{\boldmath$D$}(Z)$によって得ることを考える。

いま

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$e$}(k) = \mbox{\boldmath$r$}_0-\mbox{\boldmath$y$}(k)
\end{displaymath} (4.232)

とすると、(4.224)式を適用して
$\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}(k)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$r$}_0 - \sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$CA$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$Bu$}(n)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\mbox{\boldmath$I$}-\sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$CA$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$BP$}(n)\right]\mbox{\boldmath$r$}_0$ (4.233)

となる。これを$Z$変換すると
$\displaystyle \mbox{\boldmath$E$}(Z)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\mbox{\boldmath$e$}Z^{-k}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}Z^{-k}[\mbox{\boldmath$I$}-\sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$CA$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$BP$}(n)]\mbox{\boldmath$r$}_0$ (4.234)

となる。何故なら $\mbox{\boldmath$e$}(k)$$N-1$迄で、$N$以降は0となるからである。 一方 $\mbox{\boldmath$u$}(k)$$Z$変換は(4.232)式より
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$U$}(Z) =\sum_{k=0}^{\infty}\mbox{\boldmath$P$}(k)\mbox{\boldmath$r$}_0Z^{-k}
\end{displaymath} (4.235)

となるが、これも$k \geq N$に対し一定値 $ \mbox{\boldmath$u$}(k) = \mbox{\boldmath$P$}(N)\mbox{\boldmath$r$}_0 $とな る。そこで上式は
$\displaystyle \mbox{\boldmath$U$}(Z)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \sum_{k=0}^{N-1}Z^{-k}\mbox{\boldmath$P$}(k) +
\mbox{\boldmath$P$}(N)\sum_{k=N}^{\infty}Z^{-k}\right]\mbox{\boldmath$r$}_0$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \sum_{k=0}^{N-1}Z^{-k}\mbox{\boldmath$P$}(k) +
\mbox{\boldmath$P$}(N)\frac{Z^{-N}}{1-Z^{-1}}\right]\mbox{\boldmath$r$}_0$ (4.236)

となる。図4.20より
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$U$}(Z) = \mbox{\boldmath$D$}(Z)\cdot\mbox{\boldmath$E$}(Z)
\end{displaymath} (4.237)

であるから、(4.235)式と(4.237)式より
\begin{displaymath}
\left[ \sum_{k=0}^{N-1}Z^{-k}\mbox{\boldmath$P$}(k)+\mbox{\...
...1-n}\mbox{\boldmath$BP$}(n)\right]\right]\mbox{\boldmath$r$}_0
\end{displaymath} (4.238)

となり、 $\mbox{\boldmath$D$}(Z)$
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$D$}(Z) = \left[\sum_{k=0}^{N-1}Z^{-k}\mbox{...
...oldmath$CA$}^{k-1-n}\mbox{\boldmath$BP$}(n)\right]\right]^{-1}
\end{displaymath} (4.239)

から求めることができる。この制御が最小サンプリングで行える場合をminimal phototype という。

[例]プラントのシステム方程式が

$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{rr}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{array} \right]\mbox{\boldmath$x$}(t) +
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right]v(t)$ (4.240)
$\displaystyle y(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right]\mbox{\boldmath$x$}(t)$ (4.241)

の場合の有限時間整定法を考える。

$ T=1 $秒の場合、離散値系の状態方程式は

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}(k+1) =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & ...
...[
\begin{array}{c}
0.368 \\
0.632
\end{array} \right]u(k)
\end{displaymath} (4.242)

となる。
$\displaystyle \mbox{\boldmath$cb$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0.368 \\
0.632
\end{array} \right] = 0.368$ (4.243)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$cAb$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{...
...ay} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0.368 \\
0.632
\end{array} \right] = 0.768$ (4.244)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$Fb$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{rr}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\le...
...d{array} \right] =
\left[ \begin{array}{r}
0.632 \\
-0.632
\end{array} \right]$ (4.245)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$FAb$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{rr}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{array} \right]
\le...
...d{array} \right] =
\left[ \begin{array}{r}
0.232 \\
-0.232
\end{array} \right]$ (4.246)

となるので、これを(4.231)式に適用すると
\begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{rrr}
0.768 & 0.368 & 0 \\
0.232 & 0...
...left[ \begin{array}{c}
r_0 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
\end{displaymath} (4.247)

となり、入力は次のように得られる。
\begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{c}
u(0) \\
u(1) \\
u(2)
\end{ar...
...egin{array}{r}
1.58 \\
-0.58 \\
0
\end{array} \right]r_0
\end{displaymath} (4.248)

このことより

\begin{displaymath}
p(0) =1.58 \ \ p(1) = -0.58 \ \ p(2) = 0
\end{displaymath}

が得られ、これを(4.240)式に代入すると制御要素のパルス伝達関数が
$\displaystyle D(Z)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ p(0) + p(1)Z^{-1} + p(2)\frac{Z^{-2}}{1-Z^{-1}} \right]
\times \left[ Z^0 + Z^{-1}\{1-\mbox{\boldmath$cb$}p(0)\}\right]^{-1}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle (1.58 -0.58Z^{-1})(1 + 0.418Z^{-1})^{-1}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1.58 -0.58Z^{-1}}{1 + 0.418Z^{-1}}$ (4.249)

として得られる。


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Yasunari SHIDAMA
平成15年6月30日