最適制御理論

離散値系の最適制御のおける評価関数は、二乗形の場合、次式のような形にとる。

$$J=\sum_{k=0}^{N-1} \left[ \frac{1}{2}\mbox{\boldmath$x$}^T(k... ...c{1}{2}\mbox{\boldmath$u$}^T(k)\mbox{\boldmath$Ru$}(k) \right]$$ (4.287)

ここで、 $\mbox{\boldmath$Q$}$は$n\times n$の準正定対称マトリクス、 $\mbox{\boldmath$R$}$は$p\times p$の 正定対称マトリクスとする。これらはウェイトを示している。

いまシステム方程式を次式とする。

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.288)

このときLagrangeの未定定数を $\mbox{\boldmath$\lambda$}$とすると、補助関数は

$$V = \sum_{k=0}^{N-1} \left[ \frac{1}{2}\mbox{\boldmath$x$}^T(k)\mbox{... ...ath$Qx$}(k) +\frac{1}{2}\mbox{\boldmath$u$}^T(k)\mbox{\boldmath$Ru$}(k) \right.$$

$$\left. +\mbox{\boldmath$\lambda$}^T(k+1)\{\mbox{\boldmath$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k) -\mbox{\boldmath$x$}(k+1)\} \right]$$ (4.289)

で表される。この補助関数を $\mbox{\boldmath$x$}(k),\mbox{\boldmath$u$}(k),\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$で偏微分し て、0としたとき(4.289)式の拘束条件のもとで、(4.288)式 を最小にする条件が得られる。すなわち

$$\left. \begin{array}{l} \frac{\displaystyle{\partial V}}{\d... ...h$\lambda$}(k+1)}}=0 \end{array} \right\} k=0,1,2,\cdots,N-1$$ (4.290)

である。

$$\frac{\partial}{\partial\mbox{\boldmath$x$}(k)} \left[ \frac... ...}^T(k)\mbox{\boldmath$Qx$}(k) \right] =\mbox{\boldmath$Qx$}(k)$$ (4.291)

$$\frac{\partial}{\partial\mbox{\boldmath$x$}(k)} \left[ \mbox... ...) \right] =\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$$ (4.292)

ゆえ

$$\frac{\partial V}{\partial \mbox{\boldmath$x$}(k)}=\mbox{\bo... ...mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1) -\mbox{\boldmath$\lambda$}(k)=0$$ (4.293)

となる。同様にして

$$\frac{\partial V}{\partial \mbox{\boldmath$u$}(k)}=\mbox{\bo... ...$Ru$}(k)+\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)=0$$ (4.294)

$$\frac{\partial V}{\partial \mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)}=\... ...th$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)- \mbox{\boldmath$x$}(k+1)=0$$ (4.295)

が得られる。(4.294)式より

$$\mbox{\boldmath$\lambda$}(k)=\mbox{\boldmath$Qx$}(k)+\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$$ (4.296)

(4.295)式より

$$\mbox{\boldmath$u$}(k)=-\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$$ (4.297)

(4.296)式に(4.298)式を代入すると

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)-\mbox{\boldmath$BR$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$$ (4.298)

となる。いま

$$\mbox{\boldmath$\lambda$}(k)=\mbox{\boldmath$P$}(k)\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.299)

とおく。この $\mbox{\boldmath$P$}(k)$は$n\times n$の正定対称な行列とする。 (4.297)式に適用すると

$$\mbox{\boldmath$P$}(k)\mbox{\boldmath$x$}(k)=\mbox{\boldmath... ...boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}(k+1)\mbox{\boldmath$x$}(k+1)$$ (4.300)

となる。また(4.299)式は

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)-\mbox{\bold... ...boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}(k+1)\mbox{\boldmath$x$}(k+1)$$ (4.301)

となり

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=[\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmat... ...ath$B$}^T\mbox{\boldmath$P$}(k+1)]^{-1}\mbox{\boldmath$Ax$}(k)$$ (4.302)

が得られる。これを(4.301)式に代入すると、

$$\mbox{\boldmath$P$}(k)\mbox{\boldmath$x$}(k) = \mbox{\boldmath$Qx$}(k)+\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}(k+1)$$

$$\times [\mbox{\boldmath$I$}+\mbox{\boldmath$BR$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T \mbox{\boldmath$P$}(k+1)]^{-1}\mbox{\boldmath$Ax$}(k)$$ (4.303)

となる。上式より次式が得られる。

$$\mbox{\boldmath$P$}(k)=\mbox{\boldmath$Q$}+\mbox{\boldmath$A... ...ldmath$B$}^T \mbox{\boldmath$P$}(k+1)]^{-1}\mbox{\boldmath$A$}$$ (4.304)

この式はリカッチ方程式に相当し、 $\mbox{\boldmath$P$}(k+1)$から $\mbox{\boldmath$P$}(k)$が定まる逆時間 の式である。

いま補助関数を $\mbox{\boldmath$x$}(N)$で偏微分すると $\mbox{\boldmath$x$}(k+1)$の項以外は0となり

$$\frac{\partial V}{\partial \mbox{\boldmath$x$}(N)}=\frac{\pa... ...mbox{\boldmath$x$}(N) \right\} =\mbox{\boldmath$\lambda$}(N)=0$$ (4.305)

となる。これを(4.300)式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$\lambda$}(N)=\mbox{\boldmath$P$}(N)\mbox{\boldmath$x$}(N)=0$$ (4.306)

となり、もし $\mbox{\boldmath$x$}(N)\neq 0$なら

$$\mbox{\boldmath$P$}(N)=0$$ (4.307)

となる。この条件を(4.305)式に適用すれば逆時間的に、各 $\mbox{\boldmath$P$}(k)$が求められる。

$\mbox{\boldmath$P$}(k)$が求められると、(4.297)、(4.298)、 (4.300)式より

$$\mbox{\boldmath$u$}(k) = -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T\mbox{\boldmath$\lambda$}(k+1)$$

$$= -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T(\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\{\mbox{\boldmath$\lambda$}(k) -\mbox{\boldmath$Qx$}(k)\}$$

$$= -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T(\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\{\mbox{\boldmath$P$}(k)\mbox{\boldmath$x$}(k) -\mbox{\boldmath$Qx$}(k)\}$$

$$= -\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbox{\boldmath$B$}^T(\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\{\mbox{\boldmath$P$}(k) -\mbox{\boldmath$Q$}\}\mbox{\boldmath$x$}(k)$$

$$\equiv \mbox{\boldmath$K$}(k)\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.308)

$$\mbox{ただし}\mbox{\boldmath$K$}(k)=-\mbox{\boldmath$R$}^{-1}\mbo... ...B$}^T(\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\{\mbox{\boldmath$P$}(k)-\mbox{\boldmath$Q$}\}$$

の関係が得られるので、最適制御法則 $\mbox{\boldmath$K$}(k)$が得られる。次例で示すようにこの $\mbox{\boldmath$K$}(k)$は$N$を大きくとると$k$の小さい間は一定値をとるので定数として 扱うことができる。

[例]システム方程式が次式のとき

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{array}... ...eft[ \begin{array}{c} 1.0 \\ 0.5 \end{array} \right] u(k)$$ (4.309)

評価関数

$$J=\sum_{k=0}^{N-1} \left[ \frac{1}{2} \{ x_1^2(k)+x_2^2(k) \} +\frac{1}{2}u^2(k) \right]$$ (4.310)

を最小にする最適制御法則を求める。また初期条件を

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \r... ...= \left[ \begin{array}{c} 100.0 \\ 0 \end{array} \right]$$

としたときの応答を求める。

上例では

$$\mbox{\boldmath$Q$} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ... ...} = \left[ \begin{array}{c} 1.0 \\ 0.5 \end{array} \right]$$

である。

いま$N=5$とした場合、 $\mbox{\boldmath$P$}(5)=0$ゆえ、(4.305)式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$P$}(4) = \mbox{\boldmath$Q$}+\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}(5)[\... ...h$b$}R^{-1}\mbox{\boldmath$b$}^T\mbox{\boldmath$P$}(5)]^{-1}\mbox{\boldmath$A$}$$

$$= \mbox{\boldmath$Q$} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (4.311)

となる。そこで(4.309)式から

$$\mbox{\boldmath$k$}(4)=0　\mbox{\boldmath$u$}(4)=0$$

となる。次に$N=4$の所では

$$\mbox{\boldmath$P$}(3) = \mbox{\boldmath$Q$}+\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$P$}(4)[\... ...h$b$}R^{-1}\mbox{\boldmath$b$}^T\mbox{\boldmath$P$}(4)]^{-1}\mbox{\boldmath$A$}$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 0.355 & 0.355 \\ 0.355 & 0.555 \end{array} \right]$$ (4.312)

となるから

$$u(3) = - \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \mbox{\boldmath$P$}(3)-\mbox{\boldmath$Q$} \right] \mbox{\boldmath$x$}(3)$$

$$= - \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begi... ...{cc} 0.355 & 0.355 \\ 0.355 & 0.555 \end{array} \right] \mbox{\boldmath$x$}(3)$$

$$= - \left[ \begin{array}{cc} 0.355 & 0.555 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1(3) \\ x_2(3) \end{array} \right]$$ (4.313)

ゆえに

$$k_1(3)=-0.355　k_2(3)=-0.555$$

となる。この計算を$N\to 0$まで続けると、各時点のフィードバックゲイン$k$が 定まる。この結果が表4.1である。

表 4.1:

$k$	$k_1(k)$	$k_2(k)$	$u(k)$	$x_1(k)$	$x_2(k)$
0	-0.395	-0.687	-39.5	100	0
1	-0.395	-0.687	-2.43	40.5	-19.75
2	-0.395	-0.677	3.48	10.22	-11.09
3	-0.355	-0.555	1.42	0.54	-3.8
4	0	0	0	-1.45	-9.42

この結果より$k$の小さい所では$k_1(k),$ $k_2(k)$は一定値であることがわか る。これが最適制御法則である。次に$k_1(k),$ $k_2(k)$が求まれば (4.309)式より

$$\begin{eqnarray*} u(0) &=& k_1(0)x_1(0)+k_2(0)x_2(0) \\ &=& -0.395\times 100+(-0.687)\times 0 \\ &=& -39.5 \end{eqnarray*}$$

が求まり、これを(4.289)式に代入して

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath$x$}(1) &=& \mbox{\boldmath$Ax$}(0)+\mbox{\bold... ...& \left[ \begin{array}{c} 40.5 \\ -19.75 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

が求まる。これを繰り返して

$$\begin{eqnarray*} u(1) &=& (-0.395\times 40.5)+(-0.687)\times (-19.75) \\ &=& ... ... \left[ \begin{array}{c} 10.22 \\ -11.09 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

という具合に $u(k),x_1(k),x_2(k)$の応答が順次求められる。この結果も表 4.1に示してある。

図4.22は$N=5$と$N=11$にとった場合の$x_1(k)$と$k_1(k)$を描いた ものである。$N$を大きくすれば$k$のより大きな範囲で$k_1(k)$が一定値となり、 $k$が定数として扱えることがわかる。$x_1(k)$の方は、$N=5$の場合でも$N=11$ の場合でも同じ応答をすることを示している。

図 4.22: