状態方程式での取扱い

図5.17で示すような非線形要素を含む閉ループ系の状態方程式は 次式で表される。

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$G$}_n(\mbox{\boldmath$v$})$$ (5.48)

いまここでは $\mbox{\boldmath$G$}_n(\mbox{\boldmath$v$})$を非線形奇関数で、 $\mbox{\boldmath$G$}_n(0)=0,\mbox{\boldmath$G$}_n(-\mbox{\boldmath$v$})=-\mbox{\boldmath$G$}_n(\mbox{\boldmath$v$})$ であるとする。入力 $\mbox{\boldmath$r$}$が０のときは $\mbox{\boldmath$v$}=-\mbox{\boldmath$x$}$となる。

図 5.17:

この系に振動が発生している場合を考える。前述のように、 $\mbox{\boldmath$x$}$が 近似的に正弦波状と見なされると、非線形要素への入力 $\mbox{\boldmath$v$}$も正弦波状と 考えられるから、その各成分は次式で表される。

$$\left\{ \begin{array}{l} v_1=V_1\sin \omega t \\ v_2=V_2\... ...ots \\ v_n=V_n\sin (\omega t+\theta _n) \end{array} \right.$$ (5.49)

この式は$v_1$を位相の基準にとってあることを意味している。このような$n$個 の正弦波が非線形要素に加わった場合、非線形要素の各出力の波形は一般に歪ん だ形をしており次式の左辺で表されるが、高調波成分を省略し、基本波成分のみ で近似すると次式の右辺で表すことができる。

$$u_i = G_{ni} \left( V_1\sin \omega t,V_2\sin (\omega t +\theta _2),\cdots , V_n\sin (\omega t +\theta _n) \right)$$

$$=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1em}\raisebox{-0.2ex}{.}\hspace{.3em} U_{i1}\sin (\omega t+\varphi _{i1})$$

$$= B_{i1}\sin \omega t+A_{i1}\cos \omega t$$ (5.50)

ただし、 $i=1,2,\cdots ,r$であり、 $B_{i1}=U_{i1}\cos \varphi _{i1},A_{i1}=U_{i1}\sin \varphi _{i1}$ である。この$B_{i1},A_{i1}$はフーリエ級数の公式から

$$\left\{ \begin{array}{l} B_{i1}=\frac{\displaystyle{2}}{\di... ...ot \cos \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t \end{array} \right.$$

によって決定される。これは前述した記述関数の$a_1,b_1$（(5.20) 式）に相当する。

非線形要素の出力が(5.50)式で表されると、右辺の第1項は$v_1$、 すな､わち $V_1\sin \omega t$と同位相であり、第2項は$\dot{v}_1$すなわち $V_1\omega \cos \omega t$と同位相であることがわかる。 $\mbox{\boldmath$v$}=-\mbox{\boldmath$x$}$ゆえ、第1項は $-X_1\sin \omega t$と、第2項は $-X_1\omega \cos \omega t$と同位相であるともいえ、これを (5.50)式に適用すると $\mbox{\boldmath$u$}$は

$$\mbox{\boldmath$u$} = \mbox{\boldmath$G$}_n(\mbox{\boldmath$... ... A_{21} \\ \vdots \\ A_{n1} \end{array} \right] \dot{x}_1$$ (5.51)

と書くことができる。したがってこれを(5.48)式に適用すると

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$Ax$}-\frac{1}{X_1} \left[ \begin{array}{cccc} B_{... ... & & \vdots \\ B_{n1} & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] \mbox{\boldmath$x$}$$

$$-\frac{1}{X_1\omega} \left[ \begin{array}{cccc} A_{11} & 0 & \cdo... ...vdots \\ A_{n1} & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (5.52)

となる。いま $\mbox{\boldmath$H$},\mbox{\boldmath$K$}$なる二つの$n\times n$行列を導入し、 その第1列の要素をそれぞれ

$$\left\{ \begin{array}{l} H_{i1}=a_{i1}-\frac{\displaystyle{... ...style{-A_{i1}}}{\displaystyle{X_1\omega}} \end{array} \right.$$ (5.53)

その他の列の要素を

$$\left\{ \begin{array}{lcc} H_{ij}=a_{ij} & \hbox{ } & (j=2,3,\cdots ,n) \\ K_{ij}=0 & & \end{array} \right.$$ (5.54)

（ただし$a_{ij}$は $\mbox{\boldmath$A$}$の各要素）とすると(5.53)式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Hx$}+\mbox{\boldmath$K$}\dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (5.55)

で表される。この式は近似線形化された式であるので、この式をラプラス変換し 特性方程式を求めると

$$D(s)=\vert\mbox{\boldmath$H$}+s\mbox{\boldmath$K$}-s\mbox{\boldmath$I$}\vert=0$$ (5.56)

となる。この式より安定判別を行うのであるが、 $\mbox{\boldmath$H$},\mbox{\boldmath$K$}$の値が振幅に依 存するので、上式に$s=j\omega$を代入し、実数成分と虚数成分の各々に対して 成立する二式を連立させ、それより安定性あるいはリミットサイクルの判定を行 う。

[例1]バックラッシュのあるサーボ系

(5.33)図に示すようなバックラッシュのあるサーボ系の 状態方程式は次式で表される。

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-\fra... ...playstyle{K_m}}{\displaystyle{T_m}}G_n(v) \end{array} \right.$$ (5.57)

この非線形部分に(5.54)式を適用し、(5.56)式の形にすると

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-\fra... ...ystyle{T_m}}x_2+H_{21}x_1+K_{21}\dot{x}_1 \end{array} \right.$$ (5.58)

となる。この$H_{21},K_{21}$は(5.34)式、(5.35)式より

$$\left\{ \begin{array}{l} H_{21}=a_{21}-\frac{\displaystyle{... ...ystyle{h^2}}{\displaystyle{X_1^2}} \right) \end{array} \right.$$

となる。

図 5.18:

一方(5.59)式より、 $\mbox{\boldmath$H$},\mbox{\boldmath$K$}$はそれぞれ

$$\begin{array}{ccc} \mbox{\boldmath$H$} = \left[ \begin{arr... ...y}{cc} 0 & 0 \\ K_{21} & 0 \end{array} \right] \end{array}$$ (5.59)

となるので(5.57)式の特性方程式は

$$D(s) = \left\vert \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ H_... ...[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \end{array} \right\vert$$

$$= \left\vert \begin{array}{cc} -s & 1 \\ H_{21}+sK_{21} & -\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{T_m}}-s \end{array} \right\vert$$

$$= s^2+ \left( \frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{T_m}}-K_{21} \right) s-H_{21}$$

$$= 0$$ (5.60)

となる。これに$s=j\omega$を代入し、実数部と虚数部に分けて書くと次式になる。

$$\left\{ \begin{array}{l} -\omega ^2-H_{21}=0 \\ \frac{1}{T_m}-K_{21}=0 \end{array} \right.$$ (5.61)

これに(5.60)式を代入すると

$$\left\{ \begin{array}{l} -\omega ^2T_m+\frac{\displaystyle{... ...le{h^2}}{\displaystyle{X_1^2}} \right) =0 \end{array} \right.$$ (5.62)

となる。

$T_m=1,K_m=25$のときの両式を満足するのは $\omega =4.69\ {\mathrm rad/sec},X_1=0.18h$ のときであり、この周波数と振幅のリミットサイクルが発生することになる。

[例2]Van Der Polの方程式

この方程式は次式で表される

$$\ddot{y}-\varepsilon (1-y^2)\dot{y}+y=0$$ (5.63)

これは非線形の微分方程式である。いま$y=x_1$として相変数の状態方程式で 表すと次式となる。

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-x_1+\varepsilon x_2-\varepsilon x_1^2x_2 \end{array} \right.$$ (5.64)

上式より

$$\begin{array}{ccc} \mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{arr... ...G$}_{n2}(\mbox{\boldmath$x$}) \end{array} \right] \end{array}$$ (5.65)

と書ける。いま

$$\mbox{\boldmath$H$} = \left[ \begin{array}{cc} H_{11} & H_{... ...cc} K_{11} & K_{12} \\ K_{21} & K_{22} \end{array} \right]$$

とした場合、(5.55)式と(5.67)式より

$$\left\{ \begin{array}{l} H_{12}=a_{12}=1 \\ H_{22}=a_{22}=\varepsilon \end{array} \right.$$

となり、(5.51)、(5.54)、(5.67)式より

$$H_{11} = a_{11}+\frac{2}{\pi X_1} \int_0^{\pi}G_{n1}(\mbox{\boldmath$x$})\sin \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t=0$$ (5.66)

$$H_{21} = a_{21}+\frac{2}{\pi X_1} \int_0^{\pi}G_{n2}(\mbox{\boldmath$x$})\sin \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t$$

$$= -1-\frac{2\varepsilon}{\pi X_1} \int_0^{\pi}(X_1^2\sin ^2\omega t) \{ X_2\sin (\omega t+\theta _2) \} \sin \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t$$

$$= -1-\frac{2\varepsilon X_1X_2}{\pi} \int_0^{\pi} \{ \sin ^4\omega t\cos \theta _2 +\sin ^3\omega t\cos \omega t\sin \theta _2 \} \mathrm{d}\omega t$$

$$\downarrow$$

$$0$$

$$= -1-\frac{2\varepsilon X_1X_2}{\pi} \left[ \left\{ \frac{-\sin ^3\... ...{2} -\frac{1}{4}\sin 2\omega t \right) \right\} \cos \theta _2 \right] _0^{\pi}$$

$$\downarrow　　　　　　　　　　\downarrow$$

$$0　　　　　　 　　 　　 0$$

$$= -1-\frac{3\varepsilon X_1X_2}{4}\cos \theta _2$$ (5.67)

が得られる。また(5.55)式より $K_{12}=K_{22}=0$ であり、(5.51)、(5.54)式より

$$K_{11} = \frac{2}{\pi \omega X_1} \int_0^{\pi}G_{n1}(\mbox{\boldmath$x$})\cos \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t=0$$ (5.68)

$$K_{21} = \frac{-2\varepsilon}{\pi \omega X_1} \int_0^{\pi}G_{n2}(\mbox{\boldmath$x$})\cos \omega t\cdot \mathrm{d}\omega t$$

$$= \frac{-2\varepsilon X_1X_2}{\pi \omega} \int_0^{\pi} \{ \sin ^3\o... ...s \theta _2 +\sin ^2\omega t\cos ^2\omega t\sin \theta _2 \} \mathrm{d}\omega t$$

$$\downarrow$$

$$0$$

$$= \frac{-2\varepsilon X_1X_2}{\pi \omega} \left[ -\frac{1}{8} \left (\frac{1}{4}\sin 4\omega t-\omega t \right) \sin \theta _2 \right] _0^{\pi}$$

$$\downarrow$$

$$0$$

$$= \frac{-\varepsilon X_1X_2}{4\omega}\sin \theta _2$$ (5.69)

となる。したがって(5.56)式の形式にすると

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1... ...n \theta _2 & 0 \end{array} \right] \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (5.70)

となる。$\dot{x}_1=x_2$であるから、 $x_1=X_1\sin \omega t,$ $x_2=X_2\sin (\omega t+\theta _2)=X_1\omega \cos \omega t$となるので $X_2=X_1\omega,\theta _2=\pi /2$の関係が成立する。 これを(5.72)式に代入すると、

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-x_1+... ...yle{X_1^2}}{\displaystyle{4}} \right) x_2 \end{array} \right.$$ (5.71)

となる。これより特性方程式は

$$D(s) = \left\vert \begin{array}{cc} -s & 1 \\ -1-\frac{\displaystyle{\varepsilon X_1^2}}{\displaystyle{4}}s & \varepsilon-s \end{array} \right\vert$$

$$= s^2- \left( \varepsilon -\frac{\varepsilon X_1^2}{4} \right) s+1$$

$$= 0$$ (5.72)

となり、$s=j\omega$を代入すると

$$\left\{ \begin{array}{l} \omega ^2=1 \\ \varepsilon \left... ...1^2}}{\displaystyle{4}} \right) \omega =0 \end{array} \right.$$ (5.73)

となって、 $\omega =1,X_1=2$がリミットサイクルの条件となる。