多次系のオン・オフ制御

単入力多次系の場合、状態方程式は

$$\dot{ \mbox{\boldmath$x$} }(t)= \mbox{\boldmath$Ax$} (t)+ \mbox{\boldmath$b$} u(t)$$ (5.97)

で表され、この解は

$$\mbox{\boldmath$x$} (t) = \mbox{\boldmath$e$} ^{ \mbox{\bol... ...$A$} (t- \tau ) } \mbox{\boldmath$b$} u( \tau )\mathrm{d}\tau$$ (5.98)

である。

オン・オフ要素の場合 $u( \tau )= \pm 1$であるから

$$\mbox{\boldmath$x$} (t) = e^{ \mbox{\boldmath$A$} t} \mbox{\boldmath$x$} (0) \pm \int ^t _0 e^{\mbox{\boldmath$A$} (t- \tau) } \mbox{\boldmath$b$} \cdot \mathrm{d}\tau$$

$$\equiv e^{\mbox{\boldmath$A$} t} \mbox{\boldmath$x$} (0) \pm \mbox{\boldmath$\varphi$} (t)$$ (5.99)

と書ける。 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$は初期値であるから、オン・オフの切換時に前区間の最 終値を次の区間の初期値として計算すればよい。

いま図5.25のような閉ループ系に発生したリミットサイクルの半周期 を$T_0$としたとき、オンの区間のみを考えると

$$\mbox{\boldmath$x$} (T_0) =e^{\mbox{\boldmath$A$} T_0 } \mbox{\boldmath$x$} (0) + \mbox{\boldmath$\varphi $}(T_0)$$ (5.100)

と書ける。リミットサイクルになるのは

$$\mbox{\boldmath$x$} (0) = -\mbox{\boldmath$x$} (T_0)$$ (5.101)

の場合と考えられる。したがってこれを(5.102)式に適用すると

$$\mbox{\boldmath$x$} (0) = - [\mbox{\boldmath$I$} + e^{\mbox{\boldmath$A$} T_0 } ]^{-1} \mbox{\boldmath$\varphi$} (T_0)$$ (5.102)

となり、これがリミットサイクルの振幅 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$と半周期($T_0$)との関係を 表している。

図 5.25:

一方、オン・オフ要素への入力$e(t)$は

$$e(t)= -\mbox{\boldmath$c$} ^T \mbox{\boldmath$x$} (t) = - \... ...t} \mbox{\boldmath$x$} (0) + \mbox{\boldmath$\varphi $} (t) ]$$ (5.103)

で表され、ヒステリシスのないオン・オフ要素の場合、$e(T_0)=0$となるので

$$- \mbox{\boldmath$c$} ^T [e^ {\mbox{\boldmath$A$} T_0} \mbox{\boldmath$x$} (0) + \mbox{\boldmath$\varphi $} (T_0) ] =0$$ (5.104)

またヒステリシス$h$がある場合は

$$- \mbox{\boldmath$c$} ^T [e^ {\mbox{\boldmath$A$} T_0} \mbox{\boldmath$x$} (0) + \mbox{\boldmath$\varphi $} (T_0) ] =-h$$ (5.105)

さらに、むだ時間$L$がある場合には

$$-\mbox{\boldmath$c$} ^T [e^ {\mbox{\boldmath$A$}(T_0-L)} \mbox{\boldmath$x$} (0) + \mbox{\boldmath$\varphi $} (T_0-L) ] = 0$$ (5.106)

となる。これらの式から半周期$T_0$が求められる。この$T_0$を (5.104)式に適用すれば、振幅が求められる。

[例]オン・オフ・サーボ系

図5.26のようなオン・オフ・サーボ系にステップ入力$r$が加わっ た場合を考える。

図 5.26:

状態方程式は

$$\left \{ \begin{array}{l} \dot{x} _1 = x_2 \\ \dot{x} _2 = -x_2 +u \end{array} \right.$$ (5.107)

$$ただし u= \left \{ \begin{array}{ll} +1 & (e>0) \\ -1 & (e<0) \end{array}\right.$$

となるから

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & ... ...ath$b$} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$$

であり、

$$e^{\mbox{\boldmath$A$} t} = \left[ \begin{array}{cc} 1 &... ...begin{array}{c} t-1+e^{-t} \\ 1-e^{-t} \end{array} \right]$$ (5.108)

となる。したがって

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \... ...begin{array}{c} t-1+e^{-t} \\ 1-e^{-t} \end{array} \right]$$ (5.109)

となる。

図 5.27:

この応答波形は大体図5.27のようになる。$t_1$ 時間までの間は、 $x_2 (0)=0$とした場合

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(t)= x_1(0)+t-1+e^{-t} \\ x_2(t)= 1-e^{-t} \end{array} \right.$$ (5.110)

となり、$t_1$時点で$x_1 (1)= r$となる。ゆえに

$$\left\{ \begin{array}{l} r = x_1(0)+t_1-1+e^{-t_1} \\ x_2(1)= 1-e^{-t_1} \end{array} \right.$$ (5.111)

と書ける。上の式から$t_1$が求まれば、下の式より$x_2(1)$が求まる。ここで オン・オフ切り換えが行われ、次の$t_2$時間の間は

$$\left \{ \begin{array}{l} x_1(t) = r + x_2 (1)(1-e^{-t} ... ...-t} \\ x_2(t) = x_2(1) e^{-t} -1-e^{-t} \end{array} \right.$$ (5.112)

の応答をし、$t_2$時点で$x_1(2)= r$となるので

$$\left \{ \begin{array}{l} r = r + x_2 (1)(1-e^{-t_2} )-t... ...\\ x_2(2) = x_2(1) e^{-t_2} -1+e^{-t_2} \end{array} \right.$$ (5.113)

と書ける。上の式から$t_2$が求まれば、下の式より$x_2(2)$が求まる。このように して次々と計算を進めて行けば、過渡応答の厳密な解が得られる。

この経過の最後の定常状態でリミットサイクルに入る。(5.104)式に (5.110)式を適用すると

$$\mbox{\boldmath$x$} (0) = - \left[ \begin{array}{cc} 2 &... ...rray}{c} T_0 -1+e^{-T_0} \\ 1-e^{-T_0} \end{array} \right]$$ (5.114)

となる。

$$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1-e^{-T_0} \\ 0 & 1+e^{-T_... ...e^{-T_0} } \\ 0 & \frac {1}{1+e^{-T_0}} \end{array} \right]$$ (5.115)

であるから

$$\mbox{\boldmath$x$} (0)= - \left[ \begin{array}{c} {\dis... ...\ {\displaystyle - \tanh \frac{T_0}{2}} \end{array} \right]$$ (5.116)

となる。また図5.26より

$$\mbox{\boldmath$c$} ^T = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right]$$ (5.117)

であるから、(5.106)式より

$$- \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[ e^{\mb... ...math$A$} T_0 } \mbox{\boldmath$x$} (0)+ \mbox{\boldmath$\varphi$} (T_0) \right] = \frac {T_0}{2} - T_0 +1 - e^{-T_0} \left( 1+ \tanh \frac{T_0}{2} \right)$$

$$= - \frac{T_0}{2}+ \tan \frac {T_0}{2} =0$$ (5.118)

したがって$T_0=0$となり、これは周期0、すなわち無限大の周波数のリミットサ イクルとなることを意味している。

もしむだ時間$L$があるとすると、(5.108)式より

$$\frac{T_0}{2} - (T_0 - L)+1-e^{-(T_0-L)} \left[ 1+ \tanh \frac{T_0}{2} \right]$$

$$=1+L- \frac{T_0}{2}-e^L \left( 1+ \tanh \frac{T_0}{2} \right) =0$$ (5.119)

となるので、$L$を与えれば$T_0$が求まる。その$T_0$を(5.118)式に適用すると リミットサイクルの振幅も求まることになる。