二次遅れ系の場合

次式で与えられるような二次遅れ系の位相面軌道は斜交軸を用いて描くことができる。

$$\frac{\mathrm{d}^2\varepsilon}{\mathrm{d}\tau^2}+2\zeta\fra... ...thrm{d}\tau} + \varepsilon = {\ \mathrm{sgn}\ }(\varepsilon )$$ (5.196)

ただし$0 < \zeta < 1$の場合とする。いま ${\ \mathrm{sgn}\ }(\varepsilon)=0$の場合の解は

$$\varepsilon = e^{- \zeta \tau} \{(C_1+C_2)\cos \omega \tau +j(C_1-C_2) \sin \omega \tau \}$$ (5.197)

である。ただし、$C_1,C_2$は初期値によって定まる定数であり、 $\omega = \sqrt{1-\zeta ^2}$である。

ここで

$$A \equiv 2 \sqrt{C_1C_2} \hspace{0.5cm} , \hspace{0.5cm} \t... ...uiv \cos ^{-1} \left( \frac{C_1+C_2}{2 \sqrt{C_1C_2}} \right)$$

とおくと上式は

$$\varepsilon = Ae^{-\zeta \tau} \cos(\omega \tau + \theta)$$ (5.198)

となり、また

$$\dot{\varepsilon} = Ae^{-\zeta \tau} \cos(\omega \tau + \theta + \delta )$$ (5.199)

$$ただし \tan \delta = -\omega / \zeta$$

が得られる。

いま、図5.40に示すような斜交軸の位相面を考えた場合、余弦の公式より、 次の関係が得られる。

$$\gamma ^2 = \varepsilon ^2 + \dot{\varepsilon} ^2 -2 \varep... ...varepsilon} \cos \delta = A^2 e^{-2 \zeta \tau} \sin ^2 \delta$$ (5.200)

ゆえに

$$\gamma = A e^{-\zeta \tau} \sin \delta$$ (5.201)

また

$$\dot{\varepsilon}^2 = \gamma ^2 + \varepsilon ^2 -2 \gamma \varepsilon \cos \varphi$$ (5.202)

この式に、(5.200)、(5.201)、(5.202)式を代入すると

$$-2 \sin \delta \cos (\omega \tau + \theta ) \cos \varphi = -2 \cos (\omega \tau + \theta ) \sin \delta$$

$$\times \{ \cos (\omega \tau + \theta ) \sin \delta + \sin (\omega \tau + \theta )\cos \delta \}$$ (5.203)

ゆえに

$$\cos \varphi = \{ \cos (\omega \tau + \theta ) \sin \delta + \sin(\omega \tau + \theta ) \cos \delta \}$$

$$= \sin (\omega \tau + \theta + \delta)$$ (5.204)

この式は、図5.41に示すように原点を中心とし、時計方向に回転するスパイラル を示している。

図 5.40:

図 5.41:

オン・オフ制御の場合は、それぞれ$+1, 0, -1$を中心とするスパイラルに、 各切換点において逐次転移をする。

図5.42は ${\ \mathrm{sgn}\ }(\varepsilon) = \pm 1$の場合で、最初$+1$ を中心とするスパイラルで始まり、縦軸と交差したところで$-1$を中心とする スパイラルに切り換わり、以後同じような切換えが行われる軌道を示している。

図 5.42: