微小偏位による近似線形化の場合

非線形システムが

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$f$}(\mbox{\boldmath$x$},t)$$ (5.206)

で与えられたとき、 $\mbox{\boldmath$x$}_0$を平衡点の状態ベクトルとして

$$\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$x$}_0=\Delta \mbox{\boldmath$x$}$$ (5.207)

とし、 $\Delta \mbox{\boldmath$x$}$が微小であるとすれば、テーラー展開をして

$$\frac{\mathrm{d}\Delta \mbox{\boldmath$x$}}{\mathrm{d}t} = \mbox{\boldmath$f$} (\mbox{\boldmath$x$}_0,t)+ \frac{\dot{\mbox{\... ...ox{\boldmath$x$}_0,t)}{1!}(\mbox{\boldmath$x$} - \mbox{\boldmath$x$}_0)+ \cdots$$

$$+\frac{\mbox{\boldmath$f$}^{(n)} (\mbox{\boldmath$x$}_0,t)}{n!}(\... ...th$x$} - \mbox{\boldmath$x$}_0)^n -\mbox{\boldmath$f$}(\mbox{\boldmath$x$}_0,t)$$

$$= \dot{\mbox{\boldmath$f$}}(\mbox{\boldmath$x$}_0,t)\Delta \mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$g$}(\Delta\mbox{\boldmath$x$},t)$$

$$= \mbox{\boldmath$F$}\cdot\Delta\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$g$}(\Delta\mbox{\boldmath$x$},t)$$ (5.208)

$$ただし、\mbox{\boldmath$f$} ^{(n)}は各変数のn次展開である$$

上式より

$$\Delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$F$} \Delta \mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$g$}$$ (5.209)

となる。 $\mbox{\boldmath$g$}$は $\Delta \mbox{\boldmath$x$}$の高次の項を含んだものである。いまリアプノフ関数を

$$V=\Delta \mbox{\boldmath$x$}^T \cdot \mbox{\boldmath$P$} \cdot \Delta \mbox{\boldmath$x$}$$ (5.210)

とおいたとき

$$\dot{V} = \Delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}^T \mbox{\boldmath$P$} \Delta \mb... ...elta \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$P$} \Delta \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$= [\mbox{\boldmath$F$} \Delta \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$g... ...ldmath$P$} [\mbox{\boldmath$F$} \Delta \mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$g$}]$$

$$= \Delta \mbox{\boldmath$x$}^T [\mbox{\boldmath$F$}^T \mbox{\boldma... ... \Delta \mbox{\boldmath$x$} + \Delta \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Pg$}$$

$$= -\Delta \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}\Delta \mbox{\boldmath$x$} +2 \Delta \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Pg$}$$ (5.211)

となるから、上式が負となったとき安定であり、また$\dot{V}=0$が安定限界で ある。

[例]

いまシステム方程式を

$$\left \{ \begin{array}{ll} \dot{x} _1 = & -x_1+2x_2 \\ \dot{x} _2 = & -2x_1-x_2+x_2^2 \end{array}\right.$$ (5.212)

とする。

原点を平衡点とした場合、 $\mbox{\boldmath$x$} _0 =0$ゆえ

$$\mbox{\boldmath$F$} = \dot{\mbox{\boldmath$f$}}(\mbox{\boldmath$x$} _0,t) = \sum ^2 _{i=1} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \begin{array}... ..._1 & 2x_2\\ -2x_1 & -x_2+x_2^2 \end{array}\right] _{\mbox{\boldmath$x$} _0 =0}$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2\\ -2 & -1+2x_2\\ \end{array}\right]_{x_2 =0} = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \\ \end{array}\right]$$ (5.213)

$$\ddot{\mbox{\boldmath$f$}} (\mbox{\boldmath$x$} _0,t) = \s... ...eft[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]$$ (5.214)

$\stackrel{\mbox{\boldmath$\cdots$}}{\mbox{\boldmath$f$}} (\mbox{\boldmath$x$} _0,t)$以降は0となるので

$$\mbox{\boldmath$g$} = \frac{1}{2!} \ddot{\mbox{\boldmath$f$... ...= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ x_2^2 \end{array} \right]$$ (5.215)

となる。したがって(5.211)式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$Fx$} + \mbox{\b... ...t[ \begin{array}{c} 0 \\ \Delta x_2^2 \end{array} \right]$$ (5.216)

となる。いま

$$\mbox{\boldmath$Q$} = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]$$ (5.217)

とおくと、

$$\mbox{\boldmath$F$}^T \mbox{\boldmath$P$}+\mbox{\boldmath$PF$} = \left[ \begin{array}{cc} -1 & -2 \\ 2 & -1 \end{array}\right] \l... ...end{array}\right] \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} -2p_{11}-4p_{12} & 2p_{11}-2p_{12}-2p_{22} \\ 2p_{11}-2p_{12}-2p_{22} & 4p_{12}-2p_{22} \end{array}\right]$$

$$= -\mbox{\boldmath$Q$} = \left[ \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right]$$ (5.218)

ゆえに

$$\left \{ \begin{array}{l} 2p_{11}+4p_{12}=2 \\ 2p_{11}-2p_{12}-2p_{22}=0 \\ -4p_{12}+2p_{22}=2 \end{array} \right.$$

より

$$p_{11}=1,\ \ \ p_{12}=0,\ \ \ p_{22}=1$$ (5.219)

したがって

$$\mbox{\boldmath$P$} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]$$ (5.220)

となり、(5.213)式は次のようになる。

$$\dot{V} = - \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array}\right] \left[ \b... ...0 & 1 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ x_2^2 \end{array}\right]$$

$$= -(2x_1^2+2x_2^2)+2x_2^3$$

$$= -2x_2^2(1-x_2)-2x_1^2$$ (5.221)

ゆえに$\dot{V}=0$は

$$\pm x_1 = x_2 \sqrt{x_2-1}$$

となり、図5.47で示すこの曲線の下側は安定領域である。

線形近似として扱う場合には、$x_1,x_2$が

$$x_1^2+x_2^2=1$$

の円内にあれば安定な微小範囲といえる。

図 5.47: