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時変系の場合

システム方程式を次のような時変系とする。
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$A$}(t) \mbox{\boldmath$x$}
\end{displaymath} (5.222)

この場合リアプノフ関数を
\begin{displaymath}
V(\mbox{\boldmath$x$},t) = \mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$Px$}
\end{displaymath} (5.223)

としたとき、 $\mbox{\boldmath$P$}$は時間微分可能な関数である。ゆえに上式を微分すると
\begin{displaymath}
\dot{V} = \mbox{\boldmath$x$} ^T (\mbox{\boldmath$A$}^T \mb...
...box{\boldmath$P$}} + \mbox{\boldmath$PA$} )\mbox{\boldmath$x$}
\end{displaymath} (5.224)

となる。したがって
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^T \mbox{\boldmath$P$} + \mbox{\boldmath$PA$} + \dot{\mbox{\boldmath$P$}} = - \mbox{\boldmath$Q$}
\end{displaymath} (5.225)

とおき、 $\mbox{\boldmath$Q$}$が正定対称行列であれば
\begin{displaymath}
\dot{V} = - \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Qx$} < 0
\end{displaymath} (5.226)

となり、安定な系であることを示す。

[例]

システム方程式が

\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{l}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -(k_1+k_2 \sin t)x_1 - \omega _1 x_2
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.227)

ただし $k_1+k_2 \sin t > 0,k_1 > 0,\vert k_1\vert > \vert k_2\vert $であるとする。
上式は
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & ...
...\sin t) & - \omega _1
\end{array} \right] \mbox{\boldmath$x$}
\end{displaymath} (5.228)

と表される。いま
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$P$}(t) =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & p_{22} (t)
\end{array} \right]
\end{displaymath} (5.229)

とおいた場合、リアプノフ関数は
\begin{displaymath}
V= \left[
\begin{array}{cc}
x_1 & x_2
\end{array} \right...
...c}
x_1 \\
x_2
\end{array} \right]
= x_1^2+p_{22} (t)x_2^2
\end{displaymath} (5.230)

となり
$\displaystyle \mbox{\boldmath$A$}^T \mbox{\boldmath$P$} + \mbox{\boldmath$PA$} + \dot{\mbox{\boldmath$P$}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[
\begin{array}{cc}
0 & -(k_1 + k_2 \sin t) \\
1 & -\omega ...
...ay}\right]
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & p_{22} (t)
\end{array}\right]$  
    $\displaystyle + \left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & p_{22} (t)
\end{array}\r...
...t]
+ \left[
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & \dot{p}_{22} (t)
\end{array}\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1-(k_1+ k_2 \sin t)p_{22}(t) \\
1-(...
... \sin t)p_{22}(t) & -2 \omega _1 p_{22}(t)+ \dot{p} _{22}(t)
\end{array}\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\mbox{\boldmath$Q$}$ (5.231)

より
$\displaystyle \dot{V}= \mbox{\boldmath$x$} ^T (- \mbox{\boldmath$Q$} ) \mbox{\boldmath$x$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 \{ 1-(k_1+ k_2 \sin
t)p_{22} (t) \} x_1 x_2$  
    $\displaystyle + \{-2 \omega _1 p_{22}(t)+ \dot{p} _{22}(t) \} x_2^2$ (5.232)

となる。

$\mbox{\boldmath$P$}(t)$が正定であるという条件より、 $p_{22} (t) > 0$であり、かつ $(k_1+ k_2 \sin t) > 0$の条件が与えられているので、$x_1,x_2$の値に拘らず $\dot{V}$が負になるためには

\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{l}
1-(k_1+ k_2 \sin t)p_{22} (t)=0...
...mega _1 p_{22}(t)+ \dot{p} _{22}(t) \le 0
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.233)

でなければならない。そこで両式より$p_{22} (t)$を消去すると、
\begin{displaymath}
-2\omega_1 k_1 -2 \omega _1 k_2 \sin t-k_2 \cos t \le 0
\end{displaymath} (5.234)


\begin{displaymath}
k_1 \geq - \frac{k_2}{2 \omega _1} (\cos t+2 \omega _1 \sin t)
\end{displaymath} (5.235)

となる。 $\cos t, \sin t$の最大値はそれぞれ1であるから
\begin{displaymath}
k_1 \geq - \frac{k_2}{2 \omega _1} (1+2 \omega _1)
\end{displaymath} (5.236)

にとってあれば、$t$のいかなる値に対しても$\dot{V}$は負となり、このシステ ムは安定である。


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Yasunari SHIDAMA
平成15年7月28日