非線形オートノマス系の場合

与えられた非線形系が

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}} = \mbox{\boldmath$f$}(x)$$ (5.237)

$$ただし \mbox{\boldmath$f$}(0)=0$$

で、

$$f_i(\mbox{\boldmath$x$}) = f_{i1}(x_1)+f_{i2}(t)+\cdots + f_{in} (t)$$ (5.238)

$$(i=1,2,\cdots ,n)$$

という形をしている場合に適用する方法である。上式を

$$f_i(\mbox{\boldmath$x$})= \sum ^n_{j=1} \frac{f_{ij}(x_i)}{x_j} \cdot x_j$$ (5.239)

と書き直したとき、その極限 $$\lim _{x_j \to 0} \frac{f_{ij}(x_j)}{x_j}$$が存在すると仮定する。そこで

$$F_{ij} = \frac{f_{ij}(x_j)}{x_j}$$ (5.240)

$$x_j \ne 0 \ \ \ (i,j=1,2,\cdots ,n)$$

とおくと、(5.239)式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$F$}(\mbox{\boldmath$x$})\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.241)

と書ける。上式の $\mbox{\boldmath$F$}(\mbox{\boldmath$x$})$の要素が$F_{ij}$である。

いま、リアプノフ関数を

$$V(\mbox{\boldmath$x$}) = \mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$Px$}$$ (5.242)

$$ただし、\mbox{\boldmath$P$} は対称定数行列$$

とおき、その微係数をとると

$$\dot{V}(\mbox{\boldmath$x$}) = \dot{\mbox{\boldmath$x$}}^T\mbox{\boldmath$Px$}+\mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$P$}\dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T[\mbox{\boldmath$F$}^T(\mbox{\boldmath$x$})\mbox{\boldmath$P$}+\mbox{\boldmath$PF$}(\mbox{\boldmath$x$})]\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.243)

となる。 $\mbox{\boldmath$F$}$が正定で

$$[\mbox{\boldmath$F$}^T(\mbox{\boldmath$x$}))\mbox{\boldmath$P... ...mbox{\boldmath$x$})]=-\mbox{\boldmath$Q$}(\mbox{\boldmath$x$})$$ (5.244)

が負定なら漸近安定となる。

[例]

いま図5.48に示すシステムの安定を判別する。

図 5.48:

(5.243)式によりシステム方程式を

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = -x_1+Kx_2 \\ \dot{x}_2... ...\displaystyle -\frac{g(x_1)}{x_1} x_1} -x_2 \end{array}\right.$$ (5.245)

と表す。したがって

$$\mbox{\boldmath$F$}= \left[ \begin{array}{cc} -1 & K \\ {\displaystyle -\frac{g(x_1)}{x_1}} & -1 \end{array}\right]$$ (5.246)

である。いま

$$\mbox{\boldmath$P$} = \left[ \begin{array}{cc} p_{11} & 0 \\ 0 & p_{22} \end{array}\right]$$ (5.247)

としたとき

$$-\mbox{\boldmath$Q$} (\mbox{\boldmath$x$}) = \left[ \begin{array}{cc} -1 & K \\ {\displaystyle -\frac{g(x_1)}... ...ray}{cc} -1 & K \\ {\displaystyle -\frac{g(x_1)}{x_1}} & -1 \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} -2p_{11} & {\displaystyle -\frac{g(x_1)}... ...{\displaystyle -\frac{g(x_1)}{x_1}p_{22}}+Kp_{11} & -2p_{22} \end{array}\right]$$ (5.248)

となるから、$p_{11} > 0$で、かつ

$$4p_{11}p_{22}-\left[p_{22} \frac{g(x_1)}{x_1}-Kp_{11}\right]^2 > 0$$ (5.249)

であれば安定となる。そこで $p_{11} >0 ,p_{22} > 0$のとき

$$4p_{11}p_{22}-\left[p_{22} \frac{g(x_1)}{x_1}-Kp_{11}\right]^2 = 0$$ (5.250)

として

$$\frac{g(x_1)}{x_1}=K\frac{p_{11}}{p_{22}} \pm 2 \sqrt{\frac{p_{11}}{p_{22}}}$$ (5.251)

となるから、

$$K\frac{p_{11}}{p_{22}} -2 \sqrt{\frac{p_{11}}{p_{22}}} < \... ...x_1} < K\frac{p_{11}}{p_{22}} +2 \sqrt{\frac{p_{11}}{p_{22}}}$$ (5.252)

であれば安定である。そこで、例えば

$$\sqrt{\frac{p_{11}}{p_{22}}}= \frac{2}{K}$$ (5.253)

とした場合

$$\left \{ \begin{array}{lll} {\displaystyle K\frac{p_{11}}... ...ac{4}{K}} & = {\displaystyle \frac{8}{K}} \end{array} \right.$$ (5.254)

となるから

$$0 < \frac{g(x_1)}{x_1} < \frac{8}{K}$$ (5.255)

が安定の条件で、図5.49に示す領域に$g(x_1)/x_1$があればよい。

図 5.49: