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Krasovskiiの方法

システム方程式が次式で表され
\begin{displaymath}
\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$F$}(\mbox{\boldmath$x$})
\end{displaymath} (5.256)

この$F_1 \sim F_n$が非線形関数であり、状態変数 $x_1=x_2= \cdots = x_n=0$のとき、 $F_1=F_2= \cdots =F_n=0$であり、かつ各関数が微分可能の場合とする。いま
\begin{displaymath}
V=\mbox{\boldmath$F$}^T\mbox{\boldmath$PF$}
\end{displaymath} (5.257)

とすると、
\begin{displaymath}
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \mbox{\boldmath$F$}^T\mbo...
...}+\mbox{\boldmath$J$}^T\mbox{\boldmath$P$})\mbox{\boldmath$F$}
\end{displaymath} (5.258)

となる。ただし
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$J$}=\left[
\begin{array}{ccc}
{\displaystyle...
...laystyle \frac{\partial F_n}{\partial x_n}}
\end{array}\right]
\end{displaymath} (5.259)

である。なぜなら
$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$F$}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial \mbox{\boldmath$F$}}{\partial x_1}
\frac{\mathrm{d...
...c{\partial \mbox{\boldmath$F$}}{\partial x_n} \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$JF$}$ (5.260)
$\displaystyle \dot{\mbox{\boldmath$F$}}^T$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\mbox{\boldmath$JF$})^T = \mbox{\boldmath$F$}^T \mbox{\boldmath$J$} ^T$ (5.261)

であるから、このときもし $\mbox{\boldmath$P$}$が正定で、 $-(\mbox{\boldmath$PJ$}+\mbox{\boldmath$J$}^T\mbox{\boldmath$P$})$ が正定であれば安定であると言える。

[例]

5.50のような非線形要素を含む制御系の安定を判別する。

図 5.50:
\includegraphics[scale=0.60]{eps/5-5-4.eps}

自由系として入力0とすると、偏差の制御方程式は

\begin{displaymath}
\frac{\mathrm{d}^2e}{\mathrm{d}t^2}+\omega \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} + Kf(e)=0
\end{displaymath} (5.262)

となる。ここで状態変数を
\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{l}
e_1 = e \\
e_2 = {\displaystyle \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}}
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.263)

とすると、システム方程式は次式で表される。
\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{l}
{\displaystyle \frac{\mathrm{d}...
...\mathrm{d}t}} = -\omega e_2 -Kf(e_1)=F_2
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.264)

リアプノフ関数を
\begin{displaymath}
V=\mbox{\boldmath$F$}^T\mbox{\boldmath$PF$}=
\left[
\begi...
...]
\left[
\begin{array}{c}
F_1 \\
F_2
\end{array} \right]
\end{displaymath} (5.265)

とする。このとき(5.260)式より
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$F$} \left[\mbox{\boldmath$PJ$}+\mbox{\boldmath$J$}^T\mbox{\boldmath$P$}\right] \mbox{\boldmath$F$}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$F$}^T \left[
\begin{array}{cc}
{\displaystyle 2p_...
..._1}{\partial e_1}+2p_{12} \frac{\partial F_2}{\partial e_1}}
\end{array}\right]$  
    $\displaystyle \times \mbox{\boldmath$F$}$ (5.266)

となる。これに
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
{\displaystyle \frac{\partial f_...
...rac{\partial f_2}{\partial e_2}}= -\omega
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.267)

を代入し
\begin{displaymath}
- \left[
\begin{array}{cc}
-2K{\displaystyle \frac{\parti...
...eft[
\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{array} \right]
\end{displaymath} (5.268)

とおく。これより
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
K{\displaystyle \frac{\partial f...
...ga p_{12}=0 \\
-p_{12}+\omega p_{22} =1
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.269)

となり、
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
p_{12}=\frac{1}{K{\displaystyle ...
...}{K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}}}
\end{array} \right.
\end{displaymath} (5.270)

が求められる。 $\mbox{\boldmath$P$}$が正定であるために、まず
$\displaystyle p_{11}p_{22}-p_{12}^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{\frac{1}{\omega}(1+K\frac{\partial
f(e_1)}{\partial
e_1})+...
...}} \right\}-\left\{
\frac{1}{K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}} \right\} ^2$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\left\{1+K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}\right\}^2 \l...
...-\omega ^2}
{\omega ^2 \left\{K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}\right\} ^2}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\left\{1+K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}\right\} ^2+\omega ^2}
{\omega ^2 K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1} ^2} > 0$ (5.271)

でなければならない。このためには
\begin{displaymath}
K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1} > 0
\end{displaymath} (5.272)

であればよい。次に
\begin{displaymath}
p_{11}= \frac{K\frac{\partial f(e_1)}{\partial
e_1}+\left\...
...omega
^2}
{\omega K\frac{\partial f(e_1)}{\partial e_1}} > 0
\end{displaymath} (5.273)

でなければならないが、(5.224)式を満足し、かつ$\omega > 0$であ ればよい。したがってこの条件を満足していれば系は安定である。


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Yasunari SHIDAMA
平成15年7月28日