Aizermanの方法

図5.51に示すような、フィードバックに非線形要素が含まれているシステムの 安定判別を行う方法である。

図 5.51:

この場合のシステム方程式は

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$g$}(\mbox{\boldmath$x$})$$ (5.274)

で表される。(3)項と同様に

$$g_i(\mbox{\boldmath$x$})= \sum ^n_{j=1} \frac{g_{ij}(x_j)}{x_j}x_j \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)$$ (5.275)

とし

$$G_{ij}(\mbox{\boldmath$x$})=\frac{g_{ij}(x_j)}{x_j} \ \ \ (i,j=1,2,\cdots,n)$$ (5.276)

としたとき

$$0 \leq \frac{g_{ij}(x_j)}{x_j} < K_{ij}$$ (5.277)

$$ただし、x_j \neq 0$$

のように $G_{ij}(\mbox{\boldmath$x$})$が$K_{ij}$という定数値以下と仮定する。その場合、 システム方程式

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldmath$G$}(\mbox{\boldmath$x$})\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.278)

を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$Ax$}+\mbox{\boldm... ...}=[\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$K$}]\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.279)

と置いて、リアプノフ関数を

$$V(\mbox{\boldmath$x$})=\mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$Px$}$$ (5.280)

とした場合

$$\dot{V} = \mbox{\boldmath$x$}^T[(\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{... ...}(\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$K$})]\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.281)

となるから

$$[(\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$K$})^T\mbox{\boldmath$P... ...box{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$K$})]= - \mbox{\boldmath$Q$}$$ (5.282)

として線形系と同じように安定判別が行える。

[例]

システム方程式が

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{array}\... ...t[ \begin{array}{c} g_1(x_1)+g_3(x_2) \\ 0 \end{array}\right]$$ (5.283)

の場合で、

$$0 \le g_1(x_1)/x_1 < K_1 ただしx_1 \neq 0$$ (5.284)

$$0 \le g_3(x_2)/x_2 < K_3 ただしx_2 \neq 0$$ (5.285)

という条件のとき、

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{array}\... ...\right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$$ (5.286)

という線形系におきかえると、(5.281)式より

$$-\mbox{\boldmath$Q$}=\left[ \begin{array}{cc} 2K_1p_{11}+2p_... ...22}+(K_1+K_2)p_{12} & 2K_2p_{22}+2K_3p_{12} \end{array}\right]$$ (5.287)

となる。 $\mbox{\boldmath$P$}$が正定対称となるように、 $p_{11}=p_{22}=1,p_{12}=0$とおくと

$$- \mbox{\boldmath$Q$}=\left[ \begin{array}{cc} 2K_1 & K_3+1 \\ K_3+1 & 2K_2 \end{array}\right]$$ (5.288)

となるから

$$\left\{ \begin{array}{l} K_1 < 0 \\ 4K_1K_2-(1+K_3)^2 > 0 \end{array}\right.$$ (5.289)

が安定の条件となる。下の条件を満足するために当然$K_2 < 0$である。