可変傾斜法(Variable gradient method)

この方法は、リアプノフ関数を系統的に決定する手法である。いまシステム方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$f$}(\mbox{\boldmath$x$},t)$$ (5.290)

とし、平衡点は原点にあるものとする。またリアプノフ関数を$V$としたとき、 これは$x_1 \sim x_n$の状態変数を陽に含んでおり、また時間$t$を陽に含んで いないものとする。そうすると$V$の全微分を求めると

$$\dot{V}=\frac{\partial V}{\partial x_1}\dot{x}_1+\frac{\par... ...2}\dot{x}_2+\cdots + \frac{\partial V}{\partial x_n}\dot{x}_n$$ (5.291)

となる。上式を

$$\dot{V}=(\nabla V)^T \dot{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (5.292)

と書く。ここに

$$(\nabla V)^T = \left[ \frac{\partial V}{\partial x_1} \cdot... ...tial V}{\partial x_n}\right] = [\nabla V_1,\cdots,\nabla V_n]$$ (5.293)

である。このようにしたとき$V$、は$\nabla V$の線形積分として得られる。

すなわち

$$V = \int ^X _0 (\nabla V)^T \mathrm{d}\mbox{\boldmath$x$} = \int^{x_1(x_2=x_3=\cdots =x_n=0)} _0 \nabla V_1 \mathrm{d}x_1$$

$$+ \int^{x_2(x_1=x_1,x_2=x_3= \cdots =x_n=0)} _0 \nabla V_2 \mathrm{d}x_2$$

$$+ \cdots + \int^{x_n(x_1=x_1,x_2=x_2,\cdots x_{n-1}=x_{n-1})} _0 \nabla V_n \mathrm{d}x_n$$ (5.294)

$\nabla V$の線形積分から一義的に決定されるスカラー関数$V$に対し、 $\partial \nabla V_i/\partial x_j$によって得られる次の行列 $\mbox{\boldmath$F$}$は対称となる。

$$\mbox{\boldmath$F$}= \left[ \begin{array}{cccc} {\displaysty... ...e \frac{\partial \nabla V_n}{\partial x_n}} \end{array}\right]$$ (5.295)

したがって、たとえば$n=3$の場合

$$\left. \begin{array}{l} {\displaystyle \frac{\partial \na... ...frac{\partial \nabla V_2}{\partial x_3}} \end{array} \right\}$$ (5.296)

である。

いま

$$\nabla V= \left[ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\c... ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{array} \right]$$ (5.297)

とおく。$a_{ij}$は未定の量であるが、定数か時間関数または状態変数の関数で ある。しかしこのうち$a_{nn}$のみは定数か、時間関数に選ぶ。

そこで、次のような手順で安定の判別を行う。

step 1.

$\nabla V$を(5.299)式のようにとる。

step 2.

$\nabla V$から(5.294)式によって$\dot{V}$を決定する。

step 3.

$\dot{V}$は負定または準負定になるように$a_{ij}$を仮定する。

step 4.

(5.297)式の $\mbox{\boldmath$F$}$が対称であることを用いて$\nabla V$ の残りの未知係数を決定する。

step 5.

step 4の計算でstep 3の過程の変更を必要とするか否かを再検討する。

step 6.

(5.296)式より$V$を決定する。

step 7.

漸近安定の範囲を調べる。

[例]

システム方程式が

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}_1= & x_2 \\ \dot{x}_2= & -x_1^3-x_2 \end{array} \right.$$ (5.298)

の場合、安定を判別する。

step 1.

$$\nabla V=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1+2x_2 \end{array} \right]$$ (5.299)

step 2.

$$\dot{V} = [(a_{11}x_1+a_{12}x_2)(a_{21}x_1+2x_2)] \left[ \begin{array}{c} x_2 \\ -x^3_1-x_2 \end{array}\right]$$

$$= (a_{11}-2x_1^2-a_{21})x_1x_2+(a_{12}-2)x_2^2-a_{21}x_1^4$$ (5.300)

step 3.

いま $a_{12}=1,a_{11}-a_{21}=2x_1^2$とおくと

$$\dot{V}=-x_2^2-a_{21}x_1^4$$ (5.301)

となり、$\dot{V}$は$a_{21}$が正なら負定である。

step 4.

ゆえに

$$\nabla V= \left[ \begin{array}{c} a_{21}x_1+2x_1^3+x_2 \\ a_{21}x_1+2x_2 \end{array} \right]$$ (5.302)

となるから、(5.298)式より

$$\frac{\partial (a_{21}x_1+2x_1^3+x_2 )}{\partial x_2} = 1 = \frac{\partial (a_{21}x_1+2x_2)}{\partial x_1}=a_{21}$$ (5.303)

となり、

$$\nabla V= \left[ \begin{array}{c} x_1+2x_1^3+x_2 \\ x_1+2x_2 \end{array} \right]$$ (5.304)

となる。

step 5.

(5.303)式は

$$\dot{V}=-x_2^2-x_1^4 < 0$$ (5.305)

となり、明らかに負である。

step 6.

$$V = \int ^{x_1(x_2=0)}_0(x_1+2x_1^3+x_2)\mathrm{d}x_1+\int ^{x_2(x_1=x_1)}_0(x_1+x_2)\mathrm{d}x_2$$

$$= \frac{x_1^2}{2}+\frac{x_1^4}{2}+x_1x_2+x_2^2= \left(\frac{x_1}{2}+x_2\right)^2+\frac{x_1^2}{4}+\frac{x_1^4}{2} > 0$$ (5.306)

すなわちリアプノフ関数は正である。

step 7.

この場合、条件なしの大局的漸近安定である。