Lureの方法

図5.52に示すようなシステムにおいて、線形要素$G(s)$の極がすべて 左半面にありかつ0の極を含まず、また非線形要素$N$は連続的で、非線形要素へ の入力$e$の関数となっており、しかも$e=0$のとき、その出力$h(e)=0$である場合 にこの方法は適用される。なお$\gamma (t)=0$とする。

図 5.52:

システム方程式を正準形で表示すると

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}_i = \lambda _ix_i+h(e) ... ...y = \displaystyle\sum^n_{i=1}\alpha _ix_i \end{array} \right.$$ (5.307)

となる。ここに$\lambda _i$は$G(s)$の極であり、$\alpha _i$は$G(s)$を 部分分数に分解したときの各係数の負の値である。

上式より

$$\dot{e}= \sum^n_{i=1}\alpha _i\dot{x}_i = \sum^n_{i=1}\alpha _i \lambda _ix_i-ch(e)$$ (5.308)

$$ただし、c=-\sum^n_{i=1} \alpha _i$$

(5.309)式をベクトルで書くと

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}= \mbox... ... \mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$x$} \end{array} \right.$$ (5.309)

$$ただし、\mbox{\boldmath$A$}=\left[ \begin{array}{cccc} \lamb... ...a _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right]$$

となり、(5.310)式をベクトルで書くと

$$\dot{e}=\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$Ax$}-ch(e)$$ (5.310)

となる。そこで、もし次の条件が成立するなら、システムは大局的漸近安定である。

(1).

$$c=-\sum^n_{i=1} \alpha _i > 0$$

(2).

$$\begin{eqnarray*} \int ^e_0 h(e)\mathrm{d}e \ge 0 && e \ne 0に対し\\ \int ^e_0 ... ...\infty && \vert e\vert \to \infty に対し\\ h(0)=0 && e=0 に対し \end{eqnarray*}$$

(3).

次のマトリクスを満足する $a_1,a_2,\cdots ,a_n$の一組が存在する。

$$\left[ \begin{array}{c} {\displaystyle 2\sqrt{c}a_1-2 \sum^n... ...egin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{array}\right]$$ (5.311)

ここに$a_j$は$\lambda _j$が実数のとき実数であり、$\lambda _k$および $\lambda _{k+1}$ が共役複素数のとき、$a_k,a_{k+1}$は共役複素数である。 したがって上式は次のように書くこともできる。

$$\left[ \begin{array}{c} {\displaystyle 2\sqrt{c}\bar{a}_1-2\... ...[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]$$ (5.312)

$$ただし\overline{　}印は共役複素数を示す$$

これをベクトルで表すと

$$2\sqrt{c}\bar{\mbox{\boldmath$v$}}+2\mbox{\boldmath$Sb$}+\bar{\mbox{\boldmath$A$}}^T\bar{\mbox{\boldmath$c$}}=0$$ (5.313)

ただし

$$\bar{\mbox{\boldmath$v$}}=\left[ \begin{array}{c} \bar{a}_1 ... ...\bar{a}_na_n}{\bar{\lambda} _n+\lambda _n}} \end{array}\right]$$

上式の共役転置をとると

$$2\sqrt{c}\bar{\mbox{\boldmath$v$}}^T + 2\bar{\mbox{\boldmath$b$}}^T\bar{\mbox{\boldmath$S$}}^T+\bar{\mbox{\boldmath$c$}}\mbox{\boldmath$A$}$$

$$= 2\sqrt{c}\bar{\mbox{\boldmath$v$}}^T+2\mbox{\boldmath$b$}^T\mbox{\boldmath$S$}+\bar{\mbox{\boldmath$c$}}\mbox{\boldmath$A$}=0$$ (5.314)

いまリアプノフ関数を次のように選ぶ。

$$V(\mbox{\boldmath$x$},e)=\bar{\mbox{\boldmath$x$}}^T\mbox{\boldmath$Sx$}+\int^e_0h(e)\mathrm{d}e$$ (5.315)

この式は正定である。なぜなら条件として $$\int^e_0h(e)\mathrm{d}e > 0$$であり

$$\bar{\mbox{\boldmath$x$}}^T\mbox{\boldmath$Sx$}=\int^{\inft... ...sum^n_{i=1}a_ie^{\lambda _it}x_i\right\vert^2\mathrm{d}t > 0$$ (5.316)

であるから。そこで$\dot{V}$を求めると

$$\dot{V} = \overline{\dot{\mbox{\boldmath$x$}}}^T\mbox{\boldmath$Sx$}+\bar{\mbox{\boldmath$x$}}^T\mbox{\boldmath$S$}\dot{\mbox{\boldmath$x$}}+h(e)\dot{e}$$

$$= \bar{\mbox{\boldmath$x$}}^T(\bar{\mbox{\boldmath$A$}}^T\mbox{\bol... ...h$b$}^T\mbox{\boldmath$S$}+\mbox{\boldmath$Sb$})\mbox{\boldmath$x$}+h(e)\dot{e}$$

$$= \bar{\mbox{\boldmath$x$}}^T(\bar{\mbox{\boldmath$A$}}^T\mbox{\bol... ...th$b$}^T\mbox{\boldmath$Sx$}+\mbox{\boldmath$c$}^T\mbox{\boldmath$Ax$})-ch^2(e)$$ (5.317)

となる。ここで

$$\bar{\mbox{\boldmath$A$}}^T\mbox{\boldmath$S$}+\mbox{\boldmath$SA$} = -\left[ \begin{array}{cccc} \bar{a}_1a_1 & \bar{a}_1a_2 & \ldots ... ...cdot \\ \bar{a}_na_1 & \bar{a}_na_2 & \ldots & \bar{a}_na_n \end{array}\right]$$

$$= -\bar{\mbox{\boldmath$v$}}\mbox{\boldmath$v$}^T$$ (5.318)

となるので、

$$\dot{V} = -\bar{\mbox{\boldmath$x$}}\bar{\mbox{\boldmath$v$}}\mbox{\boldmat... ...{\boldmath$b$}^T\mbox{\boldmath$Sx$}+\mbox{\boldmath$c$}^T\mbox{\boldmath$Ax$})$$

$$= -\overline{[\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sqrt{c}h(e)]}^T\left[\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sqrt{c}h(e)\right]$$

$$+ h(e)\left\{\sqrt{c}\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sq... ...ath$b$}^T\mbox{\boldmath$Sx$}+\mbox{\boldmath$c$}^T\mbox{\boldmath$Ax$}\right\}$$

$$= -\overline{[\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sqrt{c}h(e)]}^T\left[\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sqrt{c}h(e)\right]$$

$$+h(e)\{2\sqrt{c}\mbox{\boldmath$v$}^T+2\mbox{\boldmath$b$}^T\mbox{\boldmath$S$}+\mbox{\boldmath$c$}^T\mbox{\boldmath$A$}\}\mbox{\boldmath$x$}$$ (5.319)

(5.316)式より最後の項は0となるから

$$\dot{V} = -\overline{[\mbox{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath... ...box{\boldmath$v$}^T\mbox{\boldmath$x$}+\sqrt{c}h(e)\right] < 0$$ (5.320)

となり、負となる。したがって前述の条件を満足すれば安定となる。

[例]

システム方程式が

$$\left. \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} \dot{... ...-6x_1+6x_2-x_3 \\ h(e)=e^3 \end{array} \end{array} \right\}$$ (5.321)

で表される場合の安定判別を行う。

この場合

$$\begin{array}{lll} \lambda _1=-1, & \lambda _2=-2, & \lambda... ... \\ \alpha _1 =-6, & \alpha _2 =6, & \alpha _3 =-1 \end{array}$$

である。

(1).

$c=-(\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3)=1 > 0$
ゆえ第1の条件を満足している。

(2).

$$\int^e_0 h(e)\mathrm{d}e=\int^e_0e^3\mathrm{d}e=e^4/4 \ge 0$$
であり、$e \to \infty$のとき $$\int^h_0 e^3\mathrm{d}e \to \infty$$、$e=0$のとき$e^3=0$ゆえ第2の条件も満足している。

(3).

(5.313)式は

$$\left[ \begin{array}{c} {\displaystyle 2a_1-2\left(-\frac{a_... ...ght]= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$$

となり

$$\left\{ \begin{array}{ll} {\displaystyle a_1\left(1+\frac{a_... ...c{a_2}{5}+\frac{a_3}{6}\right)} & =-1.5 \\ \end{array}\right.$$

より

$$a_1=-3.09, \ \ \ a_2=5.55, \ \ \ a_3=-1.35$$

となる。 $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$が実数であり、$a_1,a_2,a_3$ が実数で求まったから、このシステムは安定である。