基本式

先に述べたように真理関数を表わす（$X \land Y$ とか $X \land (X \lor Y)$ などの）式を、（命題論理における）論理式という。

一変数の真理関数については

$$\phi(X)=(\phi(T) \land X) \lor (\phi(F) \land \neg X)$$ (1.7)

$$\phi(X)=(\phi(T) \lor \neg X) \land (\phi(F) \lor X)$$ (1.8)

が成り立っている。実際，第(1.7)式について調べると $X$に$T$を代入すれば左辺は$\phi(T)$であり， 右辺は定理1.2の等式を使って

$$\begin{eqnarray*} (\phi(T) \land T) \lor (\phi(F) \land \neg T) &=&(\phi(T) ) ... ... (\phi(F) \land F) 　\\ &=&\phi(T) \lor (F) 　\\ &=&\phi(T) \end{eqnarray*}$$

となり一致する。同様に$X$に$F$を代入すれば左辺は$\phi(F)$であり， 右辺は定理1.2の等式を使って

$$\begin{eqnarray*} (\phi(T) \land F) \lor (\phi(F) \land \neg F) &=&(F ) \lor (\phi(F) \land T) 　\\ &&=\phi(F) \end{eqnarray*}$$

となる。 第(1.8)式も全く同様である。

第(1.7)式を用いれば，２変数の真理関数

$$\eta(X,Y) = (\eta(T,Y) \land X) \lor (\eta(F,Y) \land \neg X)$$

$$= ((\eta(T,T)\land Y ) \land X) \lor ((\eta(T,F)\land \neg Y ) \land X)$$

$$\lor ((\eta(F,T)\land Y ) \land \neg X) \lor ((\eta(F,F)\land \neg Y ) \land \neg X)$$

$$= (\eta(T,T)\land X \land Y) \lor (\eta(T,F)\land X \land \neg Y )$$

$$\lor (\eta(F,T)\land \neg X \land Y) \lor (\eta(F,F) \land \neg X \land \neg Y)$$ (1.9)

が得られる。同様に第(1.8)式を用いると先ず

$$\eta(X,Y)= \{\eta(T,Y) \lor \neg X \} \land \{\eta(F,Y) \lor X \}$$ (1.10)

を得る。次に少し複雑であるが定理1.2の分配法則

$$X \lor (Y \land Z) = (X \lor Y) \land (X \lor Z)$$

により

$$\eta(T,Y) \lor \neg X = \{ (\eta(T,T) \lor \neg Y) \land (\eta(T,F) \lor Y) \}\lor \neg X$$

$$= (\eta(T,T) \lor \neg X \lor \neg Y) \land (\eta(T,F) \lor \neg X \lor Y)$$ (1.11)

と

$$\eta(F,Y) \lor X = \{ (\eta(F,T) \lor \neg Y) \land (\eta(F,F) \lor Y) \}\lor X$$

$$= (\eta(F,T) \lor X \lor \neg Y) \land (\eta(F,F) \lor X \lor Y)$$ (1.12)

を得る。これらから，

$$\eta(X,Y) = (\eta(T,T) \lor \neg X \lor \neg Y) \land (\eta(T,F) \lor \neg X \lor Y)$$

$$\land (\eta(F,T) \lor X \lor \neg Y) \land (\eta(F,F) \lor X \lor Y)$$ (1.13)

を得る。

以上の結果を定理としてまとめておこう。

定理2.1

　以下の等式が成り立つ。

$$\begin{eqnarray*} \phi(X)&=&(\phi(T) \land X) \lor (\phi(F) \land \neg X) 　\\ ... ...\eta(F,T) \lor X \lor \neg Y) \land (\eta(F,F) \lor X \lor Y) \end{eqnarray*}$$