演習8

命題8

$A_g =<A,+, \cdot ,-,0,1>$ をブール代数とし, $X \subseteq A$ とする. そのとき,次の(1)〜(3)は同値となる：

1. (1)は(1) $X$ は $A_g$ の部分宇宙である；
2. $X \ne 0$ であって, $X$ は $+,-$ について閉じている；
3. $X \ne 0$ であって, $X$ は $\cdot ,-$ について閉じている.

(命題8の終わり)

[証明]

定義から

(1)

なら (2),(3)は定義から明らか.

(2)

なら $X \ne 0$ で少なくとも $x \in X$ となる元が1つ存在.
$-$ について閉じているから $-x \in X$ で ,
$+$ について閉じているから $1=x+-x \in X$
また $x,y \in X$ について

$$-x,-y \in X$$

よって

$$-x+-y \in X$$

ゆえに

$$x \cdot y=-(-x+-y) \in X$$

従って $\cdot$ について閉じている.
さらに

$$0=x \cdot -x \in X$$

結局, $(X,+, \cdot ,-,0,1)$ は部分代数.

全く同様に

(3)

なら $X \ne 0$ で少なくとも $x \in X$ となる元が1つ存在.
$-$ について閉じているから $-x \in X$ で ,
$\cdot$ について閉じているから $0=x \cdot -x \in X$
また $x,y \in X$ について

$$-x,-y \in X$$

よって

$$-x \cdot -y \in X$$

ゆえに

$$x+y=-(-x \cdot -y) \in X$$

従って $+$ について閉じている.
さらに

$$1=x+-x \in X$$

結局, $(X,+, \cdot ,-,0,1)$ は部分代数.

[証明終]

命題9

$A_g =<A,+, \cdot ,-,0,1>$ をブール代数とする. $A_s$ を $A_g$ の部分宇宙を 要素とする空でない集合とすると, $\cap A_s$ は, $A_g$ の部分宇宙である.
(命題9の終わり)

[証明]

まず, $(\forall X \in A_s)(0 \in X),(\forall X \in A_s)(1 \in X)$ より

$$0 \in \cap A_s,1 \in \cap A_s$$

$x,y \in \cap A_s$ とすると：

$$(\forall X \in A_s)(x+y \in X)$$

$(\forall X \in A_s)(x \cdot y \in X)$ で $(\forall X \in A_s)(-x \in X)$ で

$$x+y \in \cap A_s, x \cdot y \in \cap A_s, -x \in \cap A_s$$

[証明終]