拡張$Z$変換表と諸定理

次表は拡張$Z$変換表であるが、これを使用するときは、$Z^{-m}$を掛ける。

表 3.3: 拡張$Z$変換表

$X(s)$	$x(nT)$	$F(Z,\Delta)$
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s}$	$1$	$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1-Z^{-1}}$
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s^{2}}$	$nT$	$\frac{\displaystyle \Delta T+T(1-\Delta)Z^{-1}} {\displaystyle (1-Z^{-1})^{2}}$
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s+a}$	$e^{-anT}$	$\frac{\displaystyle e^{-a \Delta T}} {\displaystyle 1-e^{-aT}Z^{-1}}$
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (s+a)^{2}}$	$nTe^{-anT}$	$T\left[\frac{\displaystyle \Delta^{-a\Delta T}} {\displaystyle 1-e^{-aT}Z^{-1}... ...laystyle e^{-a(1+\Delta)T}Z^{-1}} {\displaystyle (1-e^{-aT}Z^{-1})^{2}}\right]$
$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s(s+a)}$	$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}(1-e^{-anT})$	$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}\left( \frac{\displaystyle 1}{\displays... ...}- \frac{\displaystyle e^{-a\Delta T}} {\displaystyle 1-e^{-aT}Z^{-1}}\right)$

拡張$Z$変換の諸定理は大体$Z$変換の場合と同様であるが、多少 異なるものをあげると次のごとくである。

(a).

初期値

$$\displaystyle \lim_{t \to 0}f(nT+\Delta T) = \lim_{\stackrel... ...iptstyle Z \to \infty }{ \Delta \to 0} } Z \cdot F(Z,\Delta)$$ (3.51)

(b).

最終値

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(nT+\Delta T)= \displaystyle \lim_{Z \to 1}\frac{Z-1}{Z}F(Z,\Delta)$$ (3.52)

(c).

$s$領域での推移

$$Z \{ F(s \pm a) \} = (e^{\pm aT}Z)^{-m} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f(nT+\Delta T) (e^{\pm aT}Z)^{-n}$$ (3.53)