可観測性

状態 $\mbox{\boldmath$x$}(k)$が観測可能な出力信号$y(k)$の現在および過去の値から 決定できる場合を可観測という。

いま自由系について考えると、

$$\left. \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{... ...ox{\boldmath$c$}^T\mbox{\boldmath$x$}(k) \end{array} \right\}$$ (4.115)

で表した場合

$$\left. \begin{array}{rcl} \mbox{\boldmath$x$}(k) & = & \m... ...\boldmath$A$}^{-m}\mbox{\boldmath$x$}(k) \end{array} \right\}$$ (4.116)

となるので

$$y(k-m) = \mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$x$}(k-m)=\mbo... ...{\boldmath$x$}(k)= \mbox{\boldmath$g$}_m\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.117)

とおくと

$$\left[ \begin{array}{c} y(k) \\ y(k-1) \\ \vdots \\ ... ...oldmath$x$}(k) \end{array} \right] = \mbox{\boldmath$Gx$}(k)$$ (4.118)

となる。ここに

$$\mbox{\boldmath$G$} = \left[ \begin{array}{c} \mbox{\bol... ...\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$A$}^{-n+1} \end{array} \right]$$ (4.119)

であり、$n\times n$のマトリクスである。もし $\mbox{\boldmath$G$}$が正則で逆行列が得られるなら

$$\mbox{\boldmath$x$}(k) = \mbox{\boldmath$G$}^{-1} \left[ ... ...(k) \\ y(k-1) \\ \vdots \\ y(k-n+1) \end{array} \right]$$ (4.120)

となり、 $k,(k-1),\cdots,(k-n+1)$の時点の出力信号$y$が記憶されているなら $\mbox{\boldmath$x$}(k)$ が定められることになり可観測である。

［例］次の離散値系の可観測を検討する。

$$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{array} ... ...ath$C$}^T = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

であるから

$$\mbox{\boldmath$A$}^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} -2 & -... ...ght] = \left[ \begin{array}{cc} -3 & -3 \end{array} \right]$$

ゆえ

$$\mbox{\boldmath$G$} = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{array} \right]$$

これは特異行列ゆえ可観測ではない。