可制御性

システム方程式

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.109)

で与えられるシステムが、任意の初期状態 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$から、任意の希望値 $\mbox{\boldmath$x$}_D$に有限時間で達せられる場合を可制御という。

いま、$k$が $0,1,2,\cdots,N$と変化した場合（ただし$N \geq n$） $\mbox{\boldmath$x$}(k+1)$は、

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$x$}(1) = \mbox{\... ...h$ABu$}(N-2) +\mbox{\boldmath$Bu$}(N-1) \end{array} \right.$$ (4.110)

となる。そこでもし $\mbox{\boldmath$x$}(N)=\mbox{\boldmath$x$}_D$となれば可制御であるといえる。 $\mbox{\boldmath$x$}_D$は任意であるから、 $\mbox{\boldmath$x$}_D=0$という原点にとると

$$\mbox{\boldmath$A$}^N\mbox{\boldmath$x$}(0) = -\mbox{\boldm... ... \cdots -\mbox{\boldmath$ABu$}(N-2)-\mbox{\boldmath$Bu$}(N-1)$$ (4.111)

となり、さらに $\mbox{\boldmath$A$}^{-N}$を両辺に掛けると

$$\mbox{\boldmath$x$}(0) = -\mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\boldmath$Bu$}(0)- \cdots -\mbox{\... ...-1)}\mbox{\boldmath$Bu$}(N-2)-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$Bu$}(N-1)$$

$$= \mbox{\boldmath$f$}_1\mbox{\boldmath$u$}(0)+\mbox{\boldmath$f$}_2... ...f$}_{N-1}\mbox{\boldmath$u$}(N-2)+\mbox{\boldmath$f$}_N\mbox{\boldmath$u$}(N-1)$$ (4.112)

ただし　 $\mbox{\boldmath$f$}_k = -\mbox{\boldmath$A$}^{-k}\mbox{\boldmath$B$}$　

となる。 $\left[ \mbox{\boldmath$f$}_1\mbox{\boldmath$f$}_2\cdots\mbox{\boldmath$f$}_N \right]$のうち$n$個の 線形独立なベクトルがあれば、任意の初期値から任意の希望値に有限時間で 達せられる。すなわち可制御である。特に$N=n$の場合は $\mbox{\boldmath$F$} = \left[ \mbox{\boldmath$f$}_1\mbox{\boldmath$f$}_2\cdots\mbox{\boldmath$f$}_N \right]$が正則であれば可制 御である。

［例］システム方程式

$$\left. \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \dot{x}... ...}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] \end{array} \right\}$$ (4.113)

の系を離散値系にしたときの可制御性を検討する。

上式を離散値系の状態方程式で表現すると

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{arr... ...[ \begin{array}{c} 0.368 \\ 0.632 \end{array} \right]u(k)$$ (4.114)

となる。ゆえに

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0.632... ...gin{array}{cc} 1 & -1.718 \\ 0 & 2.718 \end{array} \right]$$

より

$$\mbox{\boldmath$f$}_1 = -\mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\bold... ...eft[ \begin{array}{c} 3.617 \\ -4.617 \end{array} \right]$$

$$\mbox{\boldmath$F$} = \left[ \begin{array}{cc} 0.718 & 3.617 \\ -1.718 & -4.617 \end{array} \right]$$

$\mbox{\boldmath$F$}$が特異行列ではないので可制御である。