カオス現象

[例]

図 6.1:

非線形プラントの特性

$$x=a(u-u^2) = au(1-u)$$ (6.1)

$$ただし 0 < u <1$$

離散値閉ループ特性

$$x \to x(k+1) \hspace{1.5cm} u \to x(k)$$

$$x(k+1)=ax(k)\{1-x(k)\}=f(a,x)$$ (6.2)

(1).

$a=2$の場合
交点における傾斜 $\vert f ^{\prime}(ax)\vert < 1 \to$交点へ収束

図 6.2: $a=2.0$の場合 $x=0.5$が平衡点

(2).

$a=3.3$の場合
交点における傾斜 $\vert f ^{\prime}(ax)\vert > 1$
$x(k+2)=x(k)$の形に収束

図 6.3: $a=3.3$の場合 $x=0.48$と$x=0.83$の間の振動

(3).

$a=3.53$の場合
交点における傾斜 $\vert f ^{\prime}(ax)\vert > 1$
$x(k+4)=x(k)$の形に収束

図 6.4: $a=3.53$の場合 $x=0.37, 0.53, 0.83, 0.88$の振動

(4).

$a=3.9$の場合
交点における傾斜 $\vert f ^{\prime}(ax)\vert > 1$
収束せずカオス現象

図 6.5: $a=3.9$の場合

分岐点(Bifurcation)

$$\begin{array}{ll} a < 3 & 不動点（固定点）\\ a = 3 \sim 3.4... ...�ｲ�｢凌尭阿鯣�_犬垢詢琉��\ &｛ウィンドー｝が存在） \end{array}$$

図 6.6: 分岐点の状況 $2.5<a<4$に対し

奇数周期の振動

$$x(k+3)=f\{f[f\{a,x(k)\}]\}=f^3(a,x)$$ (6.3)

(a).

$a=3.8282$の場合
$\vert\{f^3(ax)\}^ {\prime} \vert < 1 \to x=0.16,0.51,0.95$の3点に収束

図 6.7: $f^3(a,x), a=3.8282$の場合

(b).

$a=3.84$の場合

$$\left. \begin{array}{ll} \vert\{f^3(ax)\} ^{\prime} \vert... ... 1 & の箇所4 \end{array} \right\}故に3点に収束（ウィンドー）$$

図 6.8: $f^3(a,x), a=3.84$の場合

(c).

$a > 3.852$カオス状態（タンジェント分岐点）
3周期振動が発生するとき、カオスが存在する。