離散値系オン・オフ制御

図 6.9:

[例]プラントの伝達関数が次の場合、

$$G_p(s) = \frac{K_pe^{T_ls}}{T_ps+1}$$ (6.4)

$$ただしK_p中にはオン・オフ要素のゲインも含む。$$

出力： $Y/K_p=y \hspace{1.5cm}$入力：$R/K_p=r$
むだ時間：$T_l/T_p=t_p$
サンプリング周期：$T_s/T_p=t_s$
の無次元化および

$$y-r=x$$

を用いた制御方程式

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x = {\ \mathrm{sgn}\ }(x)$$ (6.5)

$$ただし{\ \mathrm{sgn}\ }(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1-r \\ -r \end{array}\right.$$

図 6.10:

図6.10より

$$0 \le t_1 < t_s,\ \ 0 \le t_3 < t_s,\ \ 0 \le t_5 < t_s$$ (6.6)

$$\left. \begin{array}{ll} t_l+t_2+t_3 & = n_i \cdot t_s \\ t_l+t_4+t_5 & = n_i \cdot t_s \end{array}\right\}$$ (6.7)

$ただしn_i=1,2,3,\cdots の整数$

${\ \mathrm{sgn}\ }(x)=1-r$の場合、初期値$x(1)=0$のとき

$$x(2)=(r-1)e^{-t_1-t_l}+(1-r)$$ (6.8)

${\ \mathrm{sgn}\ }(x)=-r$の場合、初期値$x(2)$のとき

$$\{ x(2)+r\}e^{-t_2}-r=o$$ (6.9)

両式より

$$t_2=\ln \left\{ \frac{1-(1-r)e^{-t_1-t_l}}{r} \right\}$$ (6.10)

(6.7)式より

$$t_3=n_1t_s-t_l-\ln \left\{ \frac{1-(1-r)e^{-t_1-t_l}}{r} \right\}$$ (6.11)

次の半周期は$(1-r)$と$(-r)$を逆にして

$$x(4)=re^{-t_3-t_l}-r$$ (6.12)

$$\{x(4)+r-1\}e^{-t_l}+(1-r)=0$$ (6.13)

両式より

$$t_4=\ln \left\{ \frac{1-re^{-t_3-t_l}}{1-r} \right\}$$ (6.14)

(6.7)式より

$$t_5=n_2t_s-t_l-\ln \left\{ \frac{1-re^{-t_3-t_l}}{1-r} \right\}$$ (6.15)

$n_1,n_2$は(6.6)式の条件を満足するように選ぶ。

$t_5$は次の周期の$t_1$ゆえ、 $t_1 \to t_3 \to t_1 \to t_3$を繰り返すことになる。

図 6.11: $t_s=0.2, t_l=0.1$ (a) $r=0.5$ (b) $r=0.4$

図 6.12: 振動波形

$f^3\{a,x(k)\}$は$t_1 \to t_3$に相当

[例]
(a)

$$\begin{array}{l} t_s=0.1,t_l=0,r=0.42の場合 \\ f^3\{a,x(k)\}が収束 \end{array}$$

(b)

$$\begin{array}{l} t_s=0.1,t_l=0,r=0.43の場合 \\ f^3\{a,x(k)\}は収束せず \to カオス状態 \end{array}$$

$$\left. \begin{array}{l} サンプリング周期が小\\ 入力rが0.5に... ...\ むだ時間が小 \end{array}\right\} のほうがカオスが発生し易い$$

図 6.13: $f^3\{a,x(k)\}$ vs. $x(k)$