$Fr \acute{e} chet$微分の定義

$E,F$ を $\vec{E},\vec{F}$ を伴ったノルムアフィン空間とします。 $\vec{E}$ はノルム線形空間で

写像

$$J \ : \ E \rightarrow F$$

定義 1.2.1   $J$ が $f \in E$ で $Fr \acute{e} chet$微分可能であるとは次が成立つことをいいます。
$f$ に依存する連続線形写像(作用素)

$$L_f \ : \ \vec{E} \rightarrow \vec{F}$$

が存在して， 任意の $\varphi \in \vec{E}$に対して

$$J(f + \varphi) - J(f) = L_f(\varphi) + O(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{F}}$$

であり，

$$\Vert O(\varphi)\Vert _{\vec{F}} \rightarrow 0,\qquad (\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}} \rightarrow 0)$$

この$L_f$は一意に存在します。
実際，

$$J(f+\varphi)-J(f)=L_f(\varphi)+O(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$L_{f_1}(\varphi),L_{f_2}(\varphi)$が同じ条件を満たすとすると： $L_{f_1}(\varphi)=L_{f_2}(\varphi)$です。これを観るには,

$$\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}} \to 0 \quad のとき \quad \Vert O_1(\varphi)\Vert _{\vec{F}} \to 0$$

$$\Vert O_2(\varphi)\Vert _{\vec{F}} \to 0$$

$$J(f+\varphi)-J(f) = L_{f_1}(\varphi)+O_1(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$$= L_{f_2}(\varphi)+O_2(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$$L_{f_1}(\varphi)-L_{f_2}(\varphi) = O_1(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}-O_2(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$\Vert L_{f_1}(\varphi)-L_{f_2}(\varphi)\Vert _{\vec{F}} \to 0, \qquad \Vert\varphi\Vert _{\vec{E}} \to 0$

$$\lim_{h \to 0} \frac{J(f+h\varphi)-J(f)}{h}= \int_0^1\frac{f'(x)-g'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx$$ (1.6)

$$J(f+h\varphi)-J(f) = L_{f_1}(h\varphi)+O_1(h\varphi)\Vert h\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$$= hL_{f_1}(\varphi)+\vert h\vert O_1(h\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}$$

$$(\ref{f2})の左辺 = \lim_{h \to 0}\frac{hL_{f_1}(\varphi)+\vert h\vert O_1(h\varphi)\Vert\varphi\Vert _{\vec{E}}}{h}$$

$$= L_{f_1}(\varphi)+ \lim_{h \to 0}\frac{\vert h\vert O_1(h\varphi)\Vert\varphi\Vert _ {\vec{E}}}{h}$$

$$= L_{f_1}(\varphi) = L_{f_2}(\varphi)$$

したがって、一意性が示されました。