$G \hat{a} teaux$微分

ここで， $Fr \acute{e} chet$微分と第一章で導出した

$$\frac{dJ(f + h\varphi)}{dh}\Big\vert _{h=0}$$

との関係について述べておきます。 この微分は$\Delta f$に沿った微分または $G \hat{a} teaux$微分と呼ばれます。 $L_f$を$J$の$f$での $Fr \acute{e} chet$微分とすると，

$$\begin{eqnarray*} J(f + h\varphi)-J(f )&=&L_f(h\varphi)+o_1(h\varphi) \\ &=&h L_f(\varphi)+o_1(h\varphi) \end{eqnarray*}$$

であり，両辺を$h$で割って，

$$frac{J(f + h\varphi)-J(f )}{h}=L_f(\varphi)+\frac{o_1(h\varphi)}{h}$$

を得る。
さらに，

$$\frac{J(f + h\varphi)-J(f )}{h} \to \frac{dJ(f + h\varphi)}{dh}\Big\vert _{h=0} \quad (h \to 0)$$

$$\frac{o_1(h\varphi)}{h} \to 0 \quad (h \to 0)$$

ゆえ，

$$\frac{dJ(f + h\varphi)}{dh}\Big\vert _{h=0}=L_f(\varphi)$$

を得る。 これは $Fr \acute{e} chet$微分可能ならば $G \hat{a} teaux$微分可能であり，以下の関係式が成立っていることを示しています。

$$L_f(\varphi)=\frac{dJ(\bar{f} + h\varphi)}{dh}　\Big\vert _{h=0}$$

問題2の $Fr \acute{e} chet$微分
汎関数

$$J(f) = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$

$$f \in E = \{f;f \in C^1[0,1],f(0)=0,f(1)=1\}$$

$$\vec{E} = \{\varphi ;\varphi \in C^1[0,1], \varphi(0) = \varphi(1) = 0\}$$

$$= \{f-g ;f,g \in E\}$$

の $Fr \acute{e} chet$微分を求めてみましょう。
[導出]

$$J(f+\varphi)-J(f) = \int_0^1 \sqrt{1 + (f' + {\varphi}')^2}dx - \int_0^1 \sqrt{1 + (f')^2}dx$$

$$= \int_0^1 \{\sqrt{1 + (f' + {\varphi}')^2}-\sqrt{1 + (f')^2}\}dx$$ (1.7)

ここで${\varphi}'$を固定して$S$を次のようにします。

$${\varphi}' \stackrel{S}{\longmapsto} S({\varphi}')=\sqrt{1+(f'+{\varphi}')^2}$$

そして${\varphi}'=0$のまわりでテイラー展開を行ないます。

$$S({\varphi}') = S(0) + S'(0){\varphi}' + R_2$$

$$S'({\varphi}') = \frac{f' + {\varphi}'}{\sqrt{1+(f'+{\varphi}')^2}}$$

$$S''({\varphi}') = \frac{1}{\{1+(f'+{\varphi}')^2\}^{\frac{2}{3}}}$$

$$R_2 = \frac{S''({\theta}_{{\varphi}'} \cdot {\varphi}' )\cdot ({\varphi}')^2}{2} \qquad (0 < {\theta}_{{\varphi}'} < 1)$$

以上より

$$S({\varphi}') = \sqrt{1+(f'+{\varphi}')^2}$$

$$= \sqrt{1+(f')^2} + \frac{f' \cdot {\varphi}'}{\sqrt{1+(f')^2}} + \frac{({\varphi}')^2}{2\{1+(f'+{\varphi}')^2\}^{\frac{2}{3}}}$$

$$∴\sqrt{1+(f'+{\varphi}')^2}-\sqrt{1+(f')^2} =\frac{f' \cdot... ... \frac{({\varphi}')^2}{2\{1+(f'+{\varphi}')^2\}^{\frac{2}{3}}}$$

これらから$(\ref{f1})$は次のように変形できます。

$$\int_0^1 \{\sqrt{1 + (f' + {\varphi}')^2}-\sqrt{1 + (f')^2}\}... ...frac{({\varphi}')^2}{2\{1+(f'+{\varphi}')^2\}^{\frac{2}{3}}}dx$$

ここで

$$R_3 = \frac{1}{2\{1+(f'+{\varphi}')^2\}^{\frac{2}{3}}}$$

$$R_4 = ({\varphi}')^2$$

とおくと

$$R_2 = R_3 R_4$$

$$\vert R_3\vert < \frac{1}{2}=K$$

$$\vert R_4\vert = \vert{\varphi}'(x)\vert^2 \le {\Vert{\varphi}'\Vert}^2_C$$

$$\le {\Vert{\varphi}\Vert}^2_{C^1} \qquad (∵\Vert\varphi\Vert _{C^1}=\Vert\varphi\Vert _C+\Vert{\varphi}'\Vert _C)$$

$$∴\vert R_2\vert \le K{\Vert{\varphi}\Vert}^2_{C^1}$$

$$\int_0^1{\Vert{\varphi}\Vert}^2_{C^1}dx$$

したがって

$$O(\varphi) \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\frac{1}{\Vert\varphi\Vert _{C^1}}\int_0^1R_2dx$$

$O(\varphi)$をこのように定義すると

$$\frac{1}{\Vert\varphi\Vert _{C^1}}\int_0^1R_2dx \le K\Vert\varphi\Vert _{C_1}$$

であるので、 $\Vert\varphi\Vert _{C_1} \rightarrow 0$のとき $\Vert O(\varphi)\Vert \to 0$

$$∴J(f+\varphi) - J(f) =\int_0^1 \frac{f'(x){\varphi}'(x)}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}}dx + O(\varphi)\Vert\varphi\Vert _{C^1}$$

次に線型性を示します。

$$% latex2html id marker 995 \vec{E} \ni \varphi \stackrel{L_f... ...x){\varphi}'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx \in \mbox{\boldmath $R$}$$

$\forall {\varphi}_1,{\varphi}_2 \in \vec{E}$に対して、

$$L_f (\alpha {\varphi}_1 +\beta {\varphi}_2) = \int_0^1 \frac{f'(x)(\alpha {\varphi}_1(x) +\beta {\varphi}_2(x))'} {\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx$$

$$= \int_0^1 \frac{f'(x)(\alpha {{\varphi}_1(x)}' +\beta {{\varphi}_2(x)}')}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx$$

$$= \alpha\int_0^1\frac{f'(x){{\varphi}_1}'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx +\beta\int_0^1\frac{f'(x){{\varphi}_2}'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx$$

$$= \alpha L_f({\varphi}_1) + \beta L_f({\varphi}_2)$$

以上より線型性が示されました。次に連続性を示します。

$$\forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta(\varepsilon) = \... ...Vert{\varphi}_1 - {\varphi}_2\Vert _{C^1} < \delta(\varepsilon)$$

$$\Rightarrow \vert L_f({\varphi}_1) - L_f({\varphi}_2)\vert < \varepsilon$$

これを示す

$$\vert L_f({\varphi}_1) - L_f({\varphi}_2)\vert = \left\vert\int_0^1 \frac{f'(x)({\varphi}_1(x) - {\varphi}_2(x))'} {\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx\right\vert$$ (1.8)

$$\le \int_0^1\left\vert\frac{f'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}\right\vert\cdot \vert{\varphi}'_1(x) - {\varphi}'_2(x)\vert dx$$

$$\le \int_0^1\left\vert\frac{f'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}\right\vert dx \cdot \Vert{\varphi}'_1 - {\varphi}'_2\Vert _C$$

$$\le \int_0^1 \left\vert\frac{f'(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}\right\vert dx \cdot \Vert{\varphi}_1 - {\varphi}_2\Vert _{C^1}$$

$$\le K_f \Vert{\varphi}_1 - {\varphi}_2\Vert _{C^1} < \varepsilon$$

以上より連続性が示されました。