定常偏差

安定な制御系において、定常状態で目標値と制御量に偏差がある場合、 これを定常偏差（あるいはオフセット）という。

図 1.20: 直結フィードバック閉回路系

図1.20のような直結フィードバック閉回路系の場合の定常偏差は

$$E(s) = \frac{1}{1+G(s)}U(s)$$ (1.80)

$$e(\infty ) = \lim_{t \to \infty}e(t)$$

$$= \lim_{s \to 0}sE(s)$$ (1.81)

より求められる。
（a）ステップ入力の場合（$U(s)=1/s$）

$$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{1}{1+G(s)} =\frac{1}{\displaystyle 1+\lim_{s \to 0}G(s)}=\frac{1}{1+K_p}$$ (1.82)

　　　　　$K_p$：位置偏差定数
（b）ランプ入力の場合（$U(s)=1/s^2$）

$$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{1}{s+sG(s)} =\frac{1}{\displaystyle \lim_{s \to 0}sG(s)}=\frac{1}{K_v}$$ (1.83)

　　　　　$K_v$：速度偏差定数
（c）定加速度入力の場合（$U(s)=1/s^3$）

$$e(\infty )=\lim_{s \to 0}\frac{1}{s^2+s^2G(s)} =\frac{1}{\displaystyle \lim_{s \to 0}s^2G(s)}=\frac{1}{K_a}$$ (1.84)

　　　　　$K_a$：加速度偏差定数

これをまとめると、１−５表のごとくなる。

１−５表　直結フィードバック制御系の単位入力に対する偏差

形	位置偏差	速度偏差	加速度偏差
０形	$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1+K_p}$	$\infty$	$\infty$
１形	0	$1/K_v$	$\infty$
２形	0	0	$1/K_a$
３形	0	0	0

ここに０形とは$G(s)$の伝達関数に原点の極を持たない場合、１形とはそれを １つ、２形とは２つ、３形とは３つ持つ場合を指す。