根軌跡の法則

**表 1.7:** 根軌跡の法則
No.	項目	法則
1	対称性	実軸に対して対称である
2	起点	一巡伝達関数の極
3	終点	一巡伝達関数の零点叉は無限遠
4	軌跡の数	一巡伝達関数の極の数
5	無限遠に延びる	（一巡伝達関数の極の数）
	軌跡の数	ー　（一巡伝達関数の零点の数）
6		極、零点が総て実軸上にあるとき、
	実軸上の根軌跡	右側にある極と零点の個数の和が
		奇数である所に根軌跡が存在する
7	無限遠に延びる	実軸と漸近線とのなす角 $\phi$ は
	軌跡の漸近線	$\phi=\frac{180^\circ \pm 360^\circ \times k}{（極の数）- （零点の数）}　　　k=1,2,\cdots$
8	漸近線と	$S=\frac{(P_{1}+P_{2}+\cdots)-(Z_{1}+Z_{2}+\cdots)}{（極の数）-（零点の数）}$
	実軸の交点	$P_{1},P_{2},\cdots$ 極 $Z_{1},Z_{2},\cdots$ 零点
		(1)極、零点が実軸上にある場合
		$\sum_{i}\frac{1}{a-Z_{i}}=\sum_{i}\frac{1}{a-P_{i}}$
9	根軌跡と	(2)極、零点が複素数の場合
	実軸との交点	$\sum_{零点}\frac{a-\alpha_{i}}{(a-\alpha_{i})^{2}+\beta_{i}^{2}}= \sum_{極}\frac{a-\alpha_{j}}{(a-\alpha_{j})^{2}+\beta_{j}^{2}}$
		ただし、 $Z_{i}=\alpha_{i}\pm j\beta_{i}$
		,　 $P_{j}=\alpha_{j}\pm j\beta_{j}$
10	極から出る角	（出入角）＝ $(180^{\circ}\pm360^{\circ}\times k)$
	叉は	ー(他の極からの角)
	零点に入る角	+(他の零点からの角)

例 $]KG=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}$ の場合
1 20D実軸に対し対称となる。
2 20D起点

3 20D終点

無限遠
4 20D軌跡の数

5 20D無限遠に延びる軌跡の数

6 20D実軸上の根軌跡
$0 \sim -1$ 　および $-2\sim -3$ の間
7 20D無限遠に延びる軌跡の漸近線
$\phi=\frac{180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k}{3-1}=90^{\circ}\pm 180^{\circ}\times k$
8 20D漸近線と実軸の交点
$S=\frac{\{0+(-1)+(-3)\}-(-2)}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1$
9 20D根軌跡と実軸の交点
$\frac{1}{a-(-2)}=\frac{1}{a-0}+\frac{1}{a-(-1)}+\frac{1}{a-(-3)}\\ 　a^3+5a^2+8a+3=0\\ 　(a+0.534)(a^2+4.466a+5.615)=0\\ 　a\simeq -0.534$
10 20D極から出る角、零点へ入る角
　極

から出る角
$(180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k)-(0^{\circ}+0^{\circ})+(0^{\circ}) =180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k$
　極

から出る角
$(180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k)-(0^{\circ}+180^{\circ})+(0^{\circ}) =0^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k$
　極

から出る角
$(180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k)-(180^{\circ}+180^{\circ})+(180^{\circ}) =0^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k$
　零点

へ入る角
$(180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k)-(0^{\circ}+180^{\circ}+180^{\circ}) =-180^{\circ}\pm 360^{\circ}\times k$
以上に基づき根軌跡を描いたのが図1.39である。