周波数応答

いま入力信号が正弦波の場合

$$U(Z)=Z\left[{\cal L}(e^{j \omega t})\right]= \frac{1}{1-Z^{-1}e^{j \omega T}}$$ (3.40)

とする。そのとき、出力は

$$X(Z)=G(Z) \cdot U(Z)=\frac{1}{1-Z^{-1}e^{j \omega T}}G(Z)$$ (3.41)

となるから、これを逆変換すると

$$x(nT)=\frac{1}{2 \pi j}\displaystyle \int_{c} \frac{Z^{n}G(Z)}{Z-e^{j \omega T}}{\mathrm d}Z$$ (3.42)

となる。特異点は $Z=e^{j \omega T}$および$G(Z)$の極であるが、 定常状態では、後者の項は消えるので

$$x(nT)=e^{j \omega nT} \cdot G(e^{=j \omega T})$$ (3.43)

となる。パルス列の包絡線は

$$x(t)=G(e^{j \omega T}) \cdot e^{j \omega t}$$ (3.44)

となる。したがって入力正弦波と出力パルス列の包絡線に 対する周波数伝達関数は

$$G^{*}(\omega)=\frac{X(\omega)}{U(\omega)}=G(Z)_{Z=e^{j \omega T}}$$ (3.45)

となる。すなわち周波数応答のパルス伝達関数に

$$Z=e^{j \omega T}$$ (3.46)

を代入することにより、そのゲイン特性、位相特性が求められる。 但し、周波数$\omega$を$-\infty$から$+\infty$に変化させても、(3.46) 式の$Z$は$\omega T$が$0 \sim 2 \pi$ごとに同一の値をとるので、 周波数応答は$\omega$を $0 \sim 2\pi /T$の範囲とればよい。

[例] $$G(s)=\frac{1}{s+a}$$の周波数応答を求める。

$$G(Z)=\frac{Z}{Z-e^{-aT}}=\frac{1}{1-e^{-aT}Z^{-1}}$$

であるから、 $Z=e^{j \omega T}$を代入すると

$$\begin{eqnarray*} G^{*}(\omega) & = & \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1-e^... ...n \omega T} {\displaystyle 1-2e^{-aT} \cos \omega T + e^{-2aT}} \end{eqnarray*}$$

となる。したがってゲイン及び位相は

$$\begin{eqnarray*} \vert G^{*}(\omega)\vert & = & \frac{\displaystyle 1} {\disp... ...T}\sin \omega T} {\displaystyle 1-e^{-aT} \cos \omega T}\right) \end{eqnarray*}$$

となる。

$aT=0.1$の場合に対し$\omega T$を横軸にとりボード線図を描いたのが 図3.15である。

図 3.15: