過度応答

(3.31)式より

$$X(Z)=G(Z) \cdot U(Z)$$ (3.35)

の関係があるから、入力の$Z$変換$U(Z)$にパルス伝達関数を掛ければ 出力が得られ、その逆$Z$変換を求めれば過度応答が求められる。 すなわち

$$x(nT)=Z^{-1}[G(Z) \cdot U(Z)]$$ (3.36)

である。
インパルス入力の時

$$U(Z)=1$$ (3.37)

ステップ入力の時

$$U(Z)=\frac{Z}{Z-1}$$ (3.38)

ランプ入力の時

$$U(Z)=\frac{ZT}{(Z-1)^{2}}$$ (3.39)

である。

[例] $$G(s)=\frac{1}{s+a}$$のステップ応答を求める。

図 3.13:

$$\begin{eqnarray*} X(Z) & = & \frac{\displaystyle Z}{\displaystyle Z-1} \cdot Z\... ...playstyle Z^{n+1}{\mathrm d}Z} {\displaystyle (Z-1)(Z-e^{-at})} \end{eqnarray*}$$

特異点は$Z=1$および$Z=e^{-aT}$ゆえ

$$x(nT)=\frac{1-e^{-aT(n+1)}}{1-e^{-aT}}$$

となる。

$e^{-aT}=0.2$のときの応答が図3.7である。

図3.14は極の位置と過度応答の形の関係を示している。 単位円に最も近い根が代表根であり、根が原点にあるときが最も減衰が速い。

図 3.14: