安定の条件

図3.18に示す閉回路のパルス伝達関数$G_{c}(Z)$は

$$G_{c}(Z)=\frac{G(Z)}{1+[GH](Z)}$$ (3.54)

であり、特性方程式は

$$1+[GH](Z)=0$$ (3.55)

である。特性根を $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots \gamma_{m}$ とすると(3.54)式は部分分数に展開でき

$$G_{c}(Z)=\frac{\displaystyle C_{1}} {\displaystyle (Z-\gamm... ... + \frac{\displaystyle C_{m}} {\displaystyle (Z-\gamma_{m})}$$ (3.56)

となる。ただし重根のない場合であり、 $C_{1} \cdots C_{m}$ は定数である。

図 3.18:

そこで、$k$項について逆$Z$変換すると、

$$Z^{-1}\left[\frac{\displaystyle C_{k}} {\displaystyle Z-\gamma_{k}}\right] = C_{k}e^{-\delta_{k}(n-1)T}$$ (3.57)

$$\mbox{ただし、}\gamma_{k}=e^{-\delta_{k}T}\mbox{とする。}$$

となるから

$$Z^{-1}[G_{c}(Z)] = C_{1}e^{-\delta_{1}(n-1)T} + C_{2}e^{-\delta_{2}(n-1)T} + \cdots + C_{k}e^{-\delta_{k}(n-1)T}$$

$$+\cdots + C_{m}e^{-\delta_{m}(n-1)T}$$ (3.58)

で表される。

いま$\delta_{k}$の実数部を $\Re(\delta_{k})$、虚数部を $\Im(\delta_{k})$としたとき、$n \to \infty$ にした場合、上式は

$\Re{}(\delta_{k}) > 0$ なら	収束する
$\Re{}(\delta_{k}) = 0$ なら	振動が持続する
$\Re{}(\delta_{k}) < 0$ なら	発散する

そこで任意の極$\gamma_{k}$は

$$\gamma_{k}=e^{-\delta_{k}T}= \frac{\displaystyle 1}{\display... ...[\cos \{ -\Im(\delta_{k})T \} + j\sin \{-\Im(\delta_{k})T \} ]$$ (3.59)

と書けるから、 $\Re{}(\delta_{k}) = 0$のとき、 $e^{\Re{}(\delta_{k})T}=1$ゆえ、

$$\gamma_{k}=[\cos \{ -\Im(\delta_{k})T + j\sin \{-\Im(\delta_{k})T \} ]$$ (3.60)

となる。これが安定限界であって、単位円周上の点を意味している。 したがって、安定のためには $\Re{}(\delta_{k}) > 0$ でなければならないから、$Z$面上の極が全て 単位円内になければならない。このことから、 安定の条件は次のように云える。

「パルス閉回路伝達関数の極が、全て$Z$面の単位円内にあれば、 そのサンプル値系はサンプリング時刻に関する限り 安定であり、また一つでも極が単位円外に存在すれば、 不安定である。」