拡張したRouth-Hurwitzの安定判別法

いま

$$Z=\frac{\lambda+1}{\lambda-1}$$ (3.61)

とおく。これを書き直すと

$$\lambda=\frac{Z+1}{Z-1}$$ (3.62)

となる。$Z$は一般に複素数ゆえ

$$Z=\partial +j\omega$$ (3.63)

とおき、(3.62)式に代入すると

$$\lambda=\frac{\partial +j\omega +1}{\partial +j\omega +1} =\... ...{2}+\omega^{2}} -j\frac{2\omega}{(\partial -1)^{2}+\omega^{2}}$$ (3.64)

となる。

この式より $\partial^{2}+\omega^{2}>1$のとき、 すなわち$\vert Z\vert>1$のとき$\lambda$の実数部が正となる。 これは$Z$面における単位円の外側（内側）は、$\lambda$ 面の右半平面（左半平面）に対応することを意味している。

したがって、パルス伝達関数による特性方程式が 与えられたとき、(3.61)式により$Z$を$\lambda$ に変換し、$\lambda$の多項式としてRouth-Hurwitz の安定判別法を適用することができる。

[例] $$G_{c}(Z)=\frac{Z^{-1}(1-0.5Z^{-1})}{1-1.6Z^{-1}+0.48Z^{-2}}$$ の安定判別を行う。

特性方程式は

$$Z^{2}-1.6Z+0.48=0$$

ゆえ、これに(3.61)式を代入すると、

$$0.12\lambda^{2}-1.04\lambda -3.08=0$$

となる。Routh-Hurwitzの判別法により、$\lambda$ の全ての係数が同符号でないから不安定である。
なお特性方程式は

$$(Z-1.2)(Z-0.4)=0$$

となるから、根は $Z_{1}=1.2,Z_{2}=0.4$であり、$Z$面で 考えても根が単位円外にあるから不安定といえる。